ED lecture note - Radiating Systems

강의 필기

이것은 Electrodynamics 그 모든 것 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

ED lecture note - Dispersion

오늘의 핵심

진동하는 currnet density에서 retarded green function을 이용해 벡터 포텐셜을 구한 뒤
Near zone / Far zone 에 대해 approximation을 한다.
Fear field에서 approximation한 경우, multipole expansion이 나타난다.

중간에 spherical wave가 나오는 것,
그리고 exponential term을 테일러전개했을 때 각차수의 항들이 바로 nth order multipole이 된다는 게 핵심.

지금은 주로 자기벡터포텐셜 에 대해 풀고 있어가지고, 먼저 를 구한 다음 를 구한다.

필기 내용

Chapter 9 도입: Radiating Systems

이제 Chapter 9로 넘어간다.

Radiating Systems: 진동하는 전하/전류가 어떻게 빛을 만드는가?

이를 위해 multipole expansion이 필요하다.

원점 주위에 전하가 밀집해 있고, 원점에서 멀리 떨어진 곳에서 포텐셜을 알고 싶은 상황.

를 이용해 일일이 구할 수 있지만,

이를 expansion하면 Monopole이 제일 dominant하고, 그 다음이 dipole momentum이 주요함을 알 수 있다.

앞서 3, 4강에서 한 multipole expansion을 이제 와서 다시 하는 것은 multipole에 time dependence를 넣으면 radiation이 나오기 때문이다.

Time dependent Green’s function은 handout으로 공부하라.

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시간에 따라 진동하는 소스: Oscillating ρ, J

시간에 따라 진동하는 와 :

식을 보면 위치에 따라 진동하는 phase가 다르다거나.. 하지는 않다.
모든 위치에 있는 전하와 전류가 일제히 깜박거린다.

벡터 포텐셜에 대한 헬름홀츠 방정식의 general한 해,
이것은 retarded Green’s function이라 한다:

앞으로 강의에서 프라임(‘)이 붙은 것은 source에 관한 것, 안 붙은 것은 observation에 관한 것.

저 에 진동하는 를 넣자.
t에 대해 적분하면 디락델타에 의해 이 대입된다.

를 대입했음.

따라서:

공간에 대한 함수만 쏙 빼기

이므로, 공간 부분 만 남기고 시간 의존성은 인수로 분리한 것. 는 공간 함수만.

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H, E를 A로부터 구하기

→ 이게 왜 성립하지? 원래는 와 를 이어주는 식에 시간 미분이 들어가야 할 텐데.
을 이용한 거 같기도 하다. → 이렇게 유도하니까 정확하다.

복사 파워 (Radiated Power)

아래 식은 각도에 따라서 편광된 빛의 세기가 달라지는 현상과 관련있다.

Average power:
Unit solid angle 당 복사량, 시간 평균낸 것.
1/2 는 시간 평균 내느라 들어간 것 같다.
는 unit solid angle에 따른 구껍질 면적때문에 들어간 것.

Glia의 보충 설명 — 복사 파워 식의 유도: 왜 인가?

핵심 주의사항: 포인팅 벡터는 반드시 실수 장으로 계산해야 한다

포인팅 벡터의 정의는:

여기서 실수 장(real field) 이란 복소수 표현의 실수부를 말한다. 복소수 표현 자체를 그대로 곱하면 안 된다! 이것이 이 유도에서 가장 중요한 점이다.

왜냐하면 복소수 표현 는 계산 편의를 위한 수학적 도구일 뿐이고, 물리적으로 실재하는 장은 그 실수부이기 때문이다.

유도 과정

복소수 표현으로 쓰면:

실수부를 추출하면 ( 이용):

이 둘의 외적을 전개하면 4개의 항이 나온다:

시간 평균

한 주기 에 대해 평균을 취하면 항들은 사라진다:

남는 것은:

그런데 이므로, 두 항의 합은 실수부의 두 배:

왜 인가? — 한 줄 요약

E와 H 둘 다 를 달고 있으므로, 그냥 곱하면 가 생겨 시간 평균이 0이 된다. 하나에 켤레를 취해야 이 되어 시간 독립적인 항이 살아남는다. 관례상 에 켤레를 취한다.

최종적으로 단위 입체각당 평균 복사 파워:

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Near zone / Far zone 구분

소스 크기 , 소스와 관찰자 사이의 거리 , 파장 .

둘 다 소스는 작다고 가정하는 것 같다.
소스와 관찰자 사이 거리, 그리고 파장, 둘의 스케일 차이가 관건이다.

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Near Zone Case:

와! 특수함수를 쓴다. 공부해야 할까? 시험에서는 표로 주지 않을까?

는 소스의 위치 를 위한 좌표,
는 관찰 위치 를 위한 좌표.

시간에 관하여, 양 변 모두는 로 oscillate 한다.

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Far Zone Case:

그림을 그려서 이 근사를 직관적으로 납득해 보자.

이랬던 식에 근사를 하면, 분모 부분에 있는 에는 그냥 을 대입, exponential에 있는 거에는 를 대입.

구면파를 나타내는 부분이 나타난다.

시간까지 고려하면:

에 곱해진 것이 가 아니라 임에 주목하라.

는 구면파라는 것을 이야기한다.

퍼지는 모양 자체는 구면파로 똑같은데,
amplitude를 나타내는 적분항 에 있는 때문에 전하 밀도가 위치한 각도에 따라 amplitude에 기여하는 정도가 달라진다!

가 작다면, 그러니까 소스가 파장에 비해서 작다면, exponential term을 expand 할 수 있다:

n이 커짐에 따라 이 점점 작아지므로, 이 작은 게 leading term이다.

다음 노트부터는 n에 뭘 집어넣는지에 따라서 방정식의 해가 어떻게 달라지고, radiation power가 에 몇 승에 비례하고, 전기장과 자기장의 편광 방향이 어느 쪽인지 알아볼 것이다.

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Electric Dipole Radiation 이후

이 부분부터는 별도 노트로 분리됨 → ED lecture note - Electric Dipole Radiation

궁금한 내용

0. 전자기장에서 각운동량 보존 법칙은?

AI의 보충 설명

전자기장의 각운동량 보존 법칙 (궁금한 내용 0번)

Glia의 보충 설명 — 전자기장의 각운동량

핵심 아이디어: 역학적 유추

역학에서 각운동량은 이다. 전자기장도 운동량 밀도 를 가지므로, 각운동량 밀도도 자연스럽게 정의된다.

전자기장의 운동량 밀도:

전자기장의 각운동량 밀도:

총 전자기 각운동량:

보존 법칙의 구조

운동량 보존이 맥스웰 응력 텐서 를 써서

꼴이었던 것처럼, 각운동량도 각운동량 플럭스 텐서 를 정의하면:

보존 법칙:

우변 는 전자기력이 물질에 가하는 토크 밀도다.

말로 표현하면: 전자기장의 각운동량 감소율 = 경계면으로 나가는 각운동량 플럭스 + 물질이 받는 토크

에너지·운동량·각운동량 보존의 구조 비교

보존량	밀도	플럭스	물질과의 교환
에너지		(포인팅 벡터)	(줄 열)
운동량		(맥스웰 응력 텐서)	(로렌츠 힘 밀도)
각운동량			(토크 밀도)

구조가 완전히 평행하다!

Radiation과의 연결

원형 편광된 빛(circularly polarized light)은 스핀 각운동량을 운반하며, 광자 하나당 의 각운동량을 가진다. 이것이 전자기 각운동량의 양자화된 표현이다.

또한 Electric dipole radiation ( term)은 각운동량을 운반하지 않지만, magnetic dipole이나 electric quadrupole ( term 이상)부터는 각운동량을 운반하는 radiation이 나온다. 이것이 양자역학의 **선택 규칙(selection rule)**의 기원이다.

연관 학습 노트

References

강의 ppt 및 Jackson Ch. 9

다음 강의

ED lecture note - Electric Dipole Radiation