ED lecture note - Electric Dipole Radiation

강의 필기

이것은 Electrodynamics 그 모든 것 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

ED lecture note - Radiating Systems

오늘의 핵심

위키피디아에서 퍼왔다. 보다 보면 빠져든다. By MyName (Geoemyda (talk)) - Own work, CC BY-SA 3.0, Link
저 그림에서 검은 화살표가 무엇을 나타내나?
Poyinting vector아닐까?
색깔은 전기장의 세기를 나타낸다고 한다.

Multipole expansion 에서 인 term은 electric dipole을 의미한다.

Electric dipole은 이렇게 정의된다.

자기벡터 포텐셜은 이렇게 spherical wave에다가 dipole moment 벡터를 씌운 모양.

자기장에 관한 식을 구하는 것은 충분히 할 수 있다.

그러나 전기장에 관한 식을 아래와 같이 정리하는 건 어렵다.

전기장과 자기장의 편광 방향

• 는 과 직교. 빛의 특성과 같다.
• 는 과 직교한 성분도 있고 평행한 성분도 있다.

제일 dominant한 term 만 쓰면:

이걸로 복사 파워를 구해 보면,

관찰자와 dipole moment의 각도에 따라 복사 파워가 달라진다.
Dipole moment와 직교하는 면 위에 있을 때 복사가 가장 세다.
Dipole moment와 같은 방향인 축 위에 있으면 복사가 0이다.

필기 내용

Electric Dipole Field (Far zone)

Electric dipole field가 있을 때 Far zone에서

9.9 식에서 인 term만 이용.

어라… n=1이 dipole term이어야 할 것 같은데? 아닌가 지금 전류 밀도를 보고 있어서 n=0인 게 dipole인가보다. Electric dipole이 oscillation하면 magnetic monopole.

연속 방정식 를 이용한다.
부분을 점전하 밀도에 대한 식으로 고쳐준다.

부분 적분을 적용한 것 같다. 이런 스킬도 있구나.

맨 마지막에 나오는 적분 부분을 우리는 electric dipole moment라고 부르기로 했다.

정성적으로 뜻을 이해하자면, 전체적인 전하 분포가 어느 방향으로 얼마나 치우쳐졌는가가 dipole moment이다. 전하가 원점을 중심으로 고르게 분포되어 있으면 dipole moment가 0이고, 한쪽 위치에 쏠려있으면 dipole moment가 커진다.

식 9.13에 대입해서 자기 벡터 포텐셜을 구한다.

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H, E 구하기 (Electric Dipole)

H 구하기: 계산

H를 구하기 위해 먼저 curl 연산인 를 계산한다.

다음 항등식을 이용한다. 스칼라 함수 와 벡터 함수 에 대해,

또한, 그라디언트를 에 대해 쉽게 계산하기 위해 구대칭을 이용한다.

따라서,

한편, p는 소스 좌표 x′에 대한 적분으로 정의된 상수 벡터이므로,
field point x에 대한 curl 연산에서 0이 된다.

따라서,

이를 정리하면,

최종적으로 를 구하면,

구하기, vector cross product의 curl

를 이용한다.

두 벡터의 cross product의 curl 계산은 쉽지 않다. 레비-치비타로 직접 유도해 보자.
사실 예전에 학습노트로 기록한 적이 있다. Vector Identities in Electrodynamics

를 적용하면,

---

현재 상황에 적용

은 벡터장이지만, 방향이 항상 일정한 벡터이다. (, 으로 놓는다.)

마지막으로 전기장 식에 대입하면

최종으로 정리하면 아래 식이된다.
그 과정을 다 따라가는 건 아주 힘들다고 한다.
설마 시험에 나오진 않겠지?

특징 정리:

• 는 과 직교. 빛의 특성과 같다.
• 는 과 직교한 성분도 있고 평행한 성분도 있다.

관찰자가 정말 정말 멀리 있을 때, 이 큰 경우, 제일 dominant한 term 만 쓰면

전기장과 자기장이 직교한다.
==또한 전기장의 방향이 인 것에 주목.==
편광의 방향을 확인하는 것은 항상 중요하니까.

을 BAC-CAB 공식으로 전개하면,

이는 p에서 방향 성분을 제거한 것, 즉 p의 횡방향(transverse) 성분이다.

위 그림에서 빨간 벡터의 방향이 field, 파란 벡터의 방향이 field.

---

복사 파워 (Radiated Power)

아래 식은 각도에 따라서 편광된 빛의 세기가 달라지는 현상과 관련있다.

Average power:

저 식을 계산하다 보면
을 계산해야 한다.. 어지럽다.
그러나 의외로 간단한 공식을 이용해 위를 간단한 값으로 만들 수 있다.

이 벡터 항등식은 잘 알고 있던 것이다.

그래서 결론적으로 복사 파워는!!

의 크기는 이다. 각도에 따른 복사 파워를 명시적으로 나타내면, 관찰자가 electric dipole moment로부터 의 각도로 있을 때에,

이렇게 나비 모양처럼 된다.

즉, electric dipole moment가 있는 축 방향으로 갈 수록 복사는 약해지며,
electic dipole moment와 직교하는 평면에 가까워 질 수록 복사가 강해진다.

궁금한 내용

AI의 보충 설명

연관 학습 노트

References

Jackson Ch. 9 (9.13, 9.18)

필기 원본

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