스라소니 머릿속에는

ED lecture note - Dispersion

14 min read

강의 필기

이것은 Electrodynamics 그 모든 것 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

ED lecture note - Fresnel Equations

오늘의 핵심

  • 과 가 frequency에 따라 달라지는 이유: 핵에 bound된 전자의 damped harmonic oscillation
  • 단일 전자 모델로부터 유도
  • 는 복소수: real part → 굴절, imaginary part → 흡수
  • Imaginary part는 Lorentzian peak 모양 → 공명 진동수 근처에서 최대
  • Normal dispersion: 증가 → 증가
  • Anomalous dispersion: 공명 진동수 근처에서 증가 → 감소

필기 내용

1. Dispersion이란?

반사·굴절은 끝. 이제 Dispersion에 대해 공부하자.

과 가 frequency에 따라 달라지는 이유가 뭘까?
왜 에 따라 굴절률이 달라져서 무지개가 생기는 걸까?
심지어 에 따라 wave number가 달라지는 현상도 생긴다.

2. Simple model for , Lorentz model

핵에 bound된 전자가 damped harmonic oscillation 하는 경우.
low density medium에서 통하는 모델이다.

electric field가 일 때, 전자의 equation of motion은:

  • : damping coefficient
  • : harmonic potential의 binding frequency
  • 자기장의 영향은 무시

아주 작은 진폭으로 전자가 움직여서 전기장의 영향을 공간에 대해 average할 수 있다 가정.
가 로 oscillation 할 때:

이런 미분 방정식의 경우 시간이 충분히 지나면, 의 진동수는 외력의 진동수인 와 같아진다는 걸 안다.
와 전기장의 진동 사이 위상차 가 있을 때:

운동방정식에 대입:

전자의 dipole moment는 → 지금은 전자 하나만을 보고 있으므로,
단순히 전하의 위치에 전하량을 곱하면 된다.

3. 다분자 계로의 확장

unit volume에 개 분자가 있고, 분자당 개 electron이 있을 때,
의 binding frequency와 의 damping을 가지는 전자가 분자 1개당 개 있다고 치자.
는 이를 만족:

이 각기 다른 전자들의 dipole moment를 모두 합한 게 를 결정할 것이다.
아래 식은 Polarization density를 구한 것.

electric susceptibility의 정의:

[! tip] 이 정도는 외우자

따라서:

4. 복소 유전율의 실수부와 허수부

의 real part와 imaginary part를 구해 보자.

Imaginary part가 가장 커지는 지점이 있다. 바로 분모가 0에 가까워지는 지점.

꼴로 생긴 함수를 Lorentz function이라 부르며, 이로 인해 생긴 peak를 Lorentzian peak라고 부른다.

5. Normal dispersion과 Anomalous dispersion


위에 있는 그래프는 실수부, 아래에 있는 그래프는 허수부

  • Imaginary peak가 있는 진동수 근처에서, 에는 독특한 일이 일어난다.
  • Peak가 일어나기 이전 구간에서는 가 증가하면 도 증가하는 normal dispersion이 일어나지만,
  • Peak 전후에서는 가 증가하면 가 줄어드는 anomalous dispersion이 일어난다.

6. Complex 와 Absorption

지난 시간, Simple Lorentz model로부터 아래 식을 얻었다:

이제 가 complex라면, 이것의 허수부는 무슨 의미일까?

Wave number는 로 쓸 수 있다 ().

전자기파의 파수는 이고, 이므로, 로 두면:

를 실수부와 허수부로 나누면:

따라서:

의 imaginary part가 작을 때 ():

이므로, 는 사실 전기장 세기의 exponential decay이다.

따라서 가 에 비해 커질수록, 의 imaginary part가 커질수록 빛은 매질을 통과하지 못하고 exponential decay한다.

7. Drude Model: Low Frequency Behavior, Optical Conductivity of Metal

bound frequency가 0에 가까운 자유 전자의 비율을 라고 하자.

를 bound electron에 의한 항과 자유 전자에 의한 항으로 분리할 수 있다:

  • : 인 bound electron들의 기여
  • 나머지 항: bound frequency가 0인 free electron의 기여

가 있는 항이 major해질 경우, 일 때 가 급격히 커진다.

Ampere 법칙과의 연결

Ampere 법칙:

전류 밀도는 옴의 법칙을 따른다. 가 conductivity일 때 .

무슨 논리인지 모르겠는데, 책에서는 중 만 뽑아서

라고 식을 두었다.

Glia의 보충 설명 — 왜 만 쓰는가?

전체에는 이미 free electron의 기여가 포함되어 있다:

항

만약 Ampere 법칙에서 와 전체를 동시에 쓰면, free electron의 효과가 양쪽에 이중으로 계산된다.

그래서 책은 free electron의 효과를 쪽에 몰아주기로 약속하고, 를 기술하는 에는 bound electron 항인 만 남긴 것이다. 이건 물리적 기술의 분업이다 — “자유전자의 효과는 로, 속박전자의 효과는 로.”

또 무슨 논리인지 모르겠는데, 위 식을 와 비교하면.

즉, free electron이 conductivity를 만든다.

Glia의 보충 설명 — 비교 논리

위 두 식을 비교하는 논리는 다음과 같다. Ampere 법칙을 로 정리한 식:

그리고 를 대입한 식:

두 식이 동일해야 하므로 괄호 안을 비교하면:

결국 의 free electron 항에 숨어있던 것이 바로 conductivity 였던 셈이다.

질문) 지금 내용이 low frequency condition과 무슨 상관인가???

Glia의 보충 설명 — Low frequency와의 연관성

의 주파수 의존성에 연관이 있다.

Low frequency 극한 ()에서는:

실수상수

이것이 우리가 일상에서 아는 옴의 법칙다. 에서 가 실수 상수가 되고, 가 성립한다.

따라서 Drude model 자체는 전 주파수 범위에서 성립하지만 low frequency behavior 라고 부르는 이유는 이 모델이 DC conductivity를 재현하고 옴의 법칙으로 환원되는 영역이 바로 low frequency이기 때문이다. 즉, free electron이 전도도를 결정한다는 그림이 가장 직관적으로 드러나는 영역이 low frequency다.

정리

Drude model에서 free electron의 기여는 의 허수항과 동일하며, 이것이 금속의 optical conductivity의 기원이다. Low frequency 조건과 깊게 연관되어 있다.

8. High Frequency Limit: Plasma Frequency

: resonance frequency보다 훨씬 높은 진동수의 빛이 쪼여질 때,

테일러 전개를 적용하면 (도 작고, 도 작다)

여기서 는 plasma frequency, 물질의 내재적 성질에 의해 바로 정해지는 값이다.

로 두면 파수와 사이의 관계:


Dispersion relation:

  • 이면 가 허수이다 → 빛이 투과하지 못하고 매질에 들어오면 감쇠한다.
  • 이면 → 빛을 투과하기 시작. 이를 UV transparency of metal이라고 한다.

9. Causality: 와 의 관계

가 상수가 아니라 frequency dependency가 있으면, 의 변화와 의 변화 사이에 시간 지연이 있을 수 있다. 즉, 는 temporally nonlocal하게 와 를 이어준다.

기본 식:

이 식을 와 에 대한 식으로 바꾸기 위해 Fourier 변환을 해야 한다.

에 대한 식으로 바꾸면:

과거의 로부터 현재의 가 영향받는 정도는 가 과 상대적으로 나는 차이에 의해 결정된다.
새로운 notation으로 를 쓰자.

이를 대입하면:

첫 번째 항: 적분을 먼저 하면 가 나온다.
결국 현재의 전기장, 이 나온다.

두 번째 항: 자극()과 반응() 사이의 시간 지연을 나타내는 변수 를 이용해 표현. response function 의 형태로 적분을 나타낼 수 있다.

에 대해 먼저 적분한 결과가 와 를 이어주는 response function 이다.
이것은 의 역푸리에 변환이다.

시간 지연의 영향은 와 의 상대적인 차이로 발생한다는 점에 주목.

10. Lorentz model에 대한 계산

Lorentz model

를 적용하면 (아마 모든 전자의 binding frequency가 동일하다고 가정한 듯 하다.)

이 적분은 유수 정리(Residue theorem) 를 이용해 계산해야 한다.

궁금한 내용

AI의 보충 설명

연관 학습 노트

ED lecture note - Fresnel Equations

References

다음 강의

ED lecture note - Radiating Systems

원본 필기 이미지

ED_6thweek_1.pdf
ED_6thweek_2.pdf



그래프 뷰

백링크