Wave Equation from Maxwell Equations

Overview

자유 공간(전하와 전류가 없는 공간)에서 맥스웰 방정식 외우기으로부터 전기장과 자기장이 파동 방정식을 만족함을 유도한다.

벡터 항등식

이게 핵심! 나머지는 진공에서 단순화된 맥방을 풀면 자연스럽게 따라나온다.
파동 방정식의 기본 형태응 2차 공간 미분(라플라시안)이 2차 시간 미분과 비례한다는 것.

기호 정리

기호	의미
	전기장
	자기장
	진공 유전율
	진공 투자율
	빛의 속도

자유 공간의 Maxwell 방정식

전하도 전류도 없는 자유 공간에서 ():

유도 과정

전기장 파동 방정식

식 (3)의 양변에 curl을 취한다:

벡터 항등식 를 사용하고, 식 (1)에서 이므로:

여기에 식 (4)를 대입:

따라서:

자기장 파동 방정식

동일한 방법으로 식 (4)의 양변에 curl을 취하면:

벡터 항등식과 식 (2), (3)을 사용:

따라서:

결론

전기장과 자기장 모두 속도 m/s로 전파되는 파동 방정식을 만족한다. 이것이 전자기파(빛)의 존재를 수학적으로 증명한 Maxwell의 위대한 발견이다.

Related Concepts

• 맥스웰 방정식 외우기
• 포텐셜을 이용한 맥스웰 방정식
• 전기장과 자기장의 포텐셜
• Electrodynamics 그 모든 것

References

Notes from Claude

핵심은 Faraday 법칙과 Ampère-Maxwell 법칙에 curl을 취하면 서로를 포함하는 2차 미분 방정식이 나온다는 것이다. 전기장의 시간 변화가 자기장을 만들고, 자기장의 시간 변화가 다시 전기장을 만드는 순환 구조가 파동을 가능하게 한다.