스라소니 머릿속에는

ED lecture note - EM Waves and Polarization

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강의 필기

이것은 Electrodynamics 그 모든 것 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

ED lecture note - Symmetry and EM Waves

오늘의 핵심

  • 자유 공간에서 맥스웰 방정식 → Helmholtz 방정식 → 평면파 해
  • 전자기파는 transverse wave:
  • 이 복소수이면 amplitude가 위치에 따라 지수적으로 변함 (evanescent wave)
  • Time-averaged Poynting vector:
  • 편광(Polarization)은 의 두 횡방향 성분의 위상 차이로 결정됨

자기장은 전자기파 전파속도만큼 전기장보다 약하다.

필기 내용

1. Helmholtz 방정식과 평면파 해

지난 시간, 자유전하와 전류가 없는 곳에서 맥스웰 방정식을 풀어 그 결과 Helmholtz equation을 얻었다.

이때 속도(파동 전파 속도)와 굴절률을 정의한다. 전파 속도가 진공에서 빛의 속도에 비해 배 느릴 수록 굴절률이 커진다.

3차원 공간에서 Helmholtz equation의 solution은 plane wave이며, amplitude가 같은 공간적 지점들이 periodic한 평면을 이룬다.

  • 파면에 대한 법선 벡터이자 진행 방향 벡터:
  • 아직은 와 , 그리고 사이에는 아무런 관계가 없다.
  • 맥스웰 방정식을 대입하면 세 사이의 관계가 생긴다.

(1) wave vector 으로 둘 때

Helmholtz equation을 풀면, 와 는 시공간에 상수이기 때문에:

이것이 성립하기 위해 .

이 복소수이면 사정이 복잡해진다. 복소 평면에서 unit vector는 아니기 때문에, 로 분리하면:

이라는조건이아닌것에주의

따라서 과 는 (x-y 평면 위에 있다면) hyperbolic function의 관계다.

이 경우 항에서 가 나와, 위치에 따라 amplitude를 exponential하게 바꾸는 항으로 작용한다. (evanescent wave)

(2) 맥스웰 방정식 적용

와 는 파동 진행 방향과 직교하는 방향. 따라서 전자기파를 transverse wave라고 부른다.

(3) 적용

vector identity:

이걸 정리하면:

여기서 전기·자기장과 파동진행 방향 사이의 관계와, 전자기장의 세기 비율을 가늠할 수 있다.

  • 는 에 평행하다.
  • 자기장은 빛의 속도만큼 전기장보다 약하다.
    • ※ 빛은 전자기 상호작용이니까 전기장 세기와 자기장 세기 사이 관계성이 있구나… 생각해 보니 당연하군.

2. 빛의 Energy Flux

지난 시간 Poynting vector 를 배웠다.

Time-averaged Poynting vector는:

왜 1/2인가?

complex conjugation에 주의. 를 시간 평균 내면 이 나온다.

간단하게, 실수 벡터 와 에 대해:

각 장의 real part만 뽑아 Poynting vector 구하면:

를 시간 평균하면 이 나온다.

전자기파에서 임을 이용하면, 단위 면적, 단위 시간당 전자기파에 의한 에너지 flow는:

Time-averaged Energy Density

지난 시간 field energy density가 라는 걸 배웠다.

지금 field들이 complex number이므로, dot product에서 complex conjugation에 주의하여:

time average하여 을 더 곱해주면, time-averaged energy density는:

전자기파에서 라는 걸 감안하면:

3. 복소 과 ,

, 인 경우,

이런 복소수 에 대한 와 는 뭘 만족하나?

의 성분은 이 되도록 신경 써야 하고, 성분은 상관없다.

와 가 임의의 complex number일 때, 조건은 이 아니라 이므로:

로결정

4. 편광 (Polarization)

이고, 는 서로 직교하는 unit vector로 설정하자.

는 과 의 linear sum으로 나타낼 수 있다. 그러나 계수가 complex일 수 있다.

complex number를 지수로 나타내면:

이는 곧 와 의 차이에 의해 각 시간에서 의 성분과 성분의 phase가 달라진다는 의미이다.

와 의 차이값이 “polarization” 형태를 결정.

(1) Linear Polarization:

두 성분의 위상이 같으므로, 의 방향이 고정된 채 크기만 진동한다.

(2) Elliptical Polarization: (일반적인 경우)

두 성분 사이의 위상 차가 있으면, 벡터의 끝점이 타원을 그린다.

(3) Circular Polarization

를 이용하여, 경우의 real part:

편광은 clock wise 방향으로 회전. 이것을 RCP (Right Circular Polarization) 라 부르며, negative helicity를 가진다고 한
다.

Helicity 관례 (세 가지 convention이 맞물린다)

시계 방향이 옳다.

  • Clock wise ↔ right ↔ negative helicity (오른손의 네 손가락이 회전 방향으로 감길 때, 엄지 손가락이 나로부터 멀어지는 방향)
  • Anti-clock wise ↔ left ↔ positive helicity

궁금한 내용

AI의 보충 설명

연관 학습 노트

References

다음 강의

ED lecture note - Stokes Parameters and Reflection

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