ED lecture note - Symmetry and EM Waves

강의 필기

이것은 Electrodynamics 그 모든 것 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

ED lecture note - Momentum Conservation and Stress Tensor

오늘의 핵심

• 전자기량(E, B, ρ, J, P 등)은 Rotation(R), Inversion(I), Time Reversal(T) 변환 하에서 각각 고유한 변환 특성을 가진다.
• B는 pseudovector: Inversion에서 부호가 바뀌지 않고, Time reversal에서 부호가 바뀐다.
• Nonconducting media에서 평면 전자기파는 Helmholtz 방정식을 만족한다.
• Phase velocity (n: 굴절률)

필기 내용

Chapter 6 — 전자기장의 대칭적 특성

Rotation (R), Inversion (I), Time Reversal (T) 개요

회전 변환부터 보자.
Orthogonal Matrix 문서를 참고.

2nd rank tensor는 각 차원의 인덱스를 합하여 변환된다:

벡터의 외적: , 성분으로는

변환 후:

Rotation의 경우 이므로, 변환 아래서 외적의 결과(pseudo vector)도 벡터와 똑같이 변환된다.

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Reflection (반사 변환, I)

또 다른 변환으로 reflection이 있다. 라고 쓰겠다.

예를 들어 - plane을 반사면으로 잡은 경우:

성분별로:

점대칭을 만드는 space inversion의 경우 모든 부호가 바뀐다:

Real vector의 경우도 마찬가지:

Axial vector (pseudovector)는 inversion을 해도 부호가 바뀌지 않는다.
Axial vector (pseudovector):

왜인가? 이라 하면,

Pseudo scalar는 inversion에 부호가 바뀐다.
예를 들어 라 하면, 는 pseudoscalar.

스칼라답지 않게 inversion에서 부호가 바뀐다.

일반적인 n-th rank tensor의 inversion 변환

아까 본 식,

에서 눈치챌 수 있듯, rank가 늘어나는 만큼 transform tensor를 여러 번 사용하기 때문에, 부호가 바뀌는지 여부는 rank가 결정한다.

진짜 텐서와 반대의 규칙으로 부호가 바뀌는 경우를 pseudo tensor라고 한다.

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Time Reversal (T)

위치 벡터는 time reversal에 invariant하다.

운동량은 시간 미분이 들어가 있기 때문에 time reveral에 부호가 바뀐다.

뉴턴의 운동방정식은 time reversal에 invariant한가?

Time reversal을 하면:

Time reversal을 하면 원래 final condition이었던 곳에서 initial state로 향해 evolve한다.

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전자기량의 R, I, T 변환 특성

각 변환을 할 때, R, I, T를 다하면 전기역학의 물리량은 어떻게 변하나.

(i) 전하 밀도 ρ → true scalar & time reversal invariant

(ii) 전기장 E → true vector & time reversal invariant

는 inversion에 invariant한가?

따라서 inversion에 대해 는 invariant하다. ✓

(iii) 자기장 B → pseudo vector & time reversal non-invariant

B는 pseudovector다:

이고, 와 는 real vector이니, B는 pseudovector여야 한다.
임(B의 time reversal non-invariance)은 로도 확인 가능. 이므로 양변이 일치하려면 이어야 한다. (방정식 자체는 time reversal에 invariant하다.)

는 어떤가? Inversion에서 invariant해야 한다.

Inversion에서 양변이 같으므로 invariant. ✓

(iv) Current density J → real vector & time reversal non-invariant

를 이용해서도 증명할 수 있다.

(v) Polarization P → realvector & time reversal invariant

time reversal invariant한 이유는 polarization이 점전하 밀도의 공간 미분에 의존하기 때문

P를 B에 대한 polynomial로 나타내면?

일단 P를 B 없이 나타낼 수 있다.

P를 B에 대한 first order로 나타낸다면?
그 항은 와 대칭적 특성이 같아야만 한다.

Inversion
Time reversal

만이 P의 대칭성을 만족한다.

질문) 는 생각 안 하지? E랑 B는 항상 직교하나?

대칭성을 만족한 항들만을 골라 expansion하면 아래같이 표현할 수 있다.

이 중에서 가 진짜 물리량으로 영향을 주나? 그런 사례가 있있다고 한다.

이게 Chapter 6 끝이다.

Magnetic monopole에 대한 이야기는 직접 책에서 읽어보기를.

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Chapter 7 — 전자기장에 대해 (전자기파)

Plane EM Wave in Nonconducting Media

진공이다. 전하, 전류 둘 다 없다.

Solution이 꼴이라고 가정.

시간에 대해 푸리에 변환해서 의 solution을 구하자. 푸리에 변환하면 로 바뀐다.

변환 후 맥스웰 방정식:

이걸 풀면:

Vector identity 를 사용하면:

Helmholtz Equation

Solution이 라고 가정하면, :

Phase Velocity

이 표현에서 phase에 작용하는 게 phase velocity.

일반적인 solution은 오른쪽으로 가는 파동과 왼쪽으로 가는 파동의 선형 결합:

파수를 정리하면:

Nondispersive media에서는 와 가 에 independent하다.

궁금한 내용

AI의 보충 설명

연관 학습 노트

필기 원본

ED_4thweek_2.pdf

다음 강의

ED lecture note - EM Waves and Polarization