강의 필기
이것은 Electrodynamics 그 모든 것강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.
지난 강의
ED lecture note - Gauge Transform and Energy Conservation
오늘의 핵심
정리를 끝내고 나서 핵심을 이곳에 적기.
필기 내용
지난 시간 복습: 에너지 보존
지난 시간, 에너지 보존과 Poynting Vector를 배웠다.
좌변에서 첫번째 항은 mechanical work rate, 두번째 항은 field energy이다.
우변에 있는 것은 Poynting vector 이다.
차원은
운동량 보존
이제 운동량 보존이다.
로렌츠 힘:
힘은 운동량 변화율. 위 식을 전하 밀도에 관한 것으로 바꾸고 적분하면 아래와 같이 표현할 수 있다.
지금
지금부터 아주 빡센 유도를 할 것이다. (중요) 모든 맥스웰 방정식을 다 활용할 것이다.
지금까지
일단 위 식을
괄호 안의 식을 정리하자.
Step 1.
Step 2.
(두 번째 줄에서
그러면 다시 정리하면:
Step 3. 앞으로 우리는
이것을 “field momentum”의 시간 변화율이라고 해석한다.
여기서
장의 운동량 밀도:
전체 운동량의 시간 변화
따라서,
(부호 주의:
우변의 적분을 자세히 보자
우변을
vector calculus identity 유도
이 식을 어떤 텐서에 대한 미분으로 나타낼 수 있다.
vector calculus identity를
아인슈타인 summation notation 을 쓸 때에,
우변 둘째 항에 cross product 두 개 있는 항을 풀어보자.
이때,
따라서,
그래서 결론은
Maxwell Stress Tensor
이런 텐서를 생각하면,
이렇게 위의 복잡한 항을 간단하게 나타낼 수 있다.
여기서 아까 체적분-면적분 변환은 Green’s theorem에 의함이다.
→ 어 아닌데 발산정리 같은데????
이것을 Maxwell stress tensor 라고 한다. 차원은 힘/면적, 즉 stress tensor 의 형태와 같다.
는 부피 표면에 작용하는 스트레스(힘/면적)를 적분한 것이다.
우리는 momentum conservation에서 E 와 B의 대칭성을 발견했다.
Symmetry Property of Electromagnetic Field (6.10 Jackson)
물리량들이 공간 회전 / 반전 / time reversal 에 어떤 성질을 가지나?
회전/반전 변환은 orthogonal matrix (transformation) 이어야 한다. 변환을 해도 벡터의길이가 변하지 않아야 하기 때문이다. 이 matri는 determinant의 절댓값이 1이다.
Orthogonal transformation
변환 될 때에 모양이 불변이다.
좌표
라는 것이 자명하다. (unit vector 의 orthogonality로 인해서.)
즉,
따라서
determinant는
Similarity transformation
임의의 matrix
궁금한 내용
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AI의 보충 설명
연관 학습 노트
References
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