Fluctuation-Dissipation Theorem

Overview

Fluctuation-Dissipation Theorem (FDT) 는 평형 상태에서의 자발적 요동(fluctuation)과 외부 교란에 대한 시스템의 dissipative response 사이의 관계를 기술하는 정리이다.

핵심 내용: dynamic response function 는 equilibrium time correlation function 의 시간 미분으로 표현된다.

자극 지점 와 응답 지점 를 구분하면 일반식이 된다.

Symbol Table

Symbol	Meaning
	Dynamic response function
	In-phase (real) part of
	Out-of-phase (imaginary) part; measure of dissipation
	Equilibrium time correlation function
	Power spectrum of
	Inverse thermal energy
	External force (before removal at )

Key Points

FDT의 유도 흐름

Step 1 — Onsager Regression Theorem (Onsager Regression Theorem)

외부 힘 를 에서 제거하면, 이후 시스템의 거시적 이완은 평형 상관함수에 비례한다:

Step 2 — Response function의 정의 (Dynamic linear response theory)

Stepwise unloading 실험에서 response function은 다음과 같이 정의된다:

Step 3 — 대입

17.21을 17.12에 대입하면 17.22 (FDT)가 직접 유도된다.

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Fourier 공간에서의 FDT

식 (17.22)를 Fourier 변환하고 허수부만 추출 후 부분적분하면:

대칭성을 이용하면:

물리적 의미: dissipation()은 power spectrum()에 직접 비례한다. 즉, 시스템이 얼마나 에너지를 흡수·발산하는지가 equilibrium 요동의 세기로 결정된다.

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Dissipation과 응답

에서:

• : 구동력과 같은 위상의 응답 (elastic)
• : 구동력보다 늦은 응답 (dissipative)

진동수 의 힘에 의한 단위 시간당 평균 일(에너지 흡수율):

따라서 는 열역학 제2법칙과 일치한다.

Questions & Insights

• FDT가 성립하려면 시스템이 equilibrium 상태여야 한다. 생물학적 활성 시스템(active system)에서는 FDT가 위반된다. 이 경우 effective temperature 를 도입하여 얼마나 비평형 상태인지 정량화할 수 있다 (식 17.31).

Related Concepts

• Onsager Regression Theorem
• Dynamic linear response theory
• Statistical Physics for Biological Matter (Woo)

References

• Statistical Physics for Biological Matter (Woo)

Notes from Claude

FDT는 인과율(causality)에 의해 for 이라는 조건 아래 성립한다. 이 조건 때문에 Fourier 변환 시 가 아닌 로 적분 하한이 결정된다 (식 17.28).

또한 static linear response는 FDT의 극한이다: (Chapter 9의 결과와 일치).