Gram-Charlier Expansion

Overview

Kramers-Moyal expansion의 진짜 버전: 시간에 대한 고차 미분 항을 recursive substitution으로 제거하면, expansion coefficients가 moments가 아니라 cumulants가 되어야 한다!

이것은 Kramers-Moyal Expansion의 두 가지 문제점을 해결한다:

1. 시간 고차 미분 문제: 항들을 공간 미분으로 대체
2. Moments vs Cumulants 문제: 올바른 asymptotic expansion을 위해서는 cumulants를 써야 함

최종 결과:

여기서 은 n차 cumulant이다

Symbol Table

Symbol	Meaning
	연속 시공간 확률 밀도
	N번 step 후 위치의 이산 확률 분포
	step size의 n차 moment
	step size의 n차 cumulant
	Step 간 시간 간격
	Cumulant-based jump coefficient:

시간 고차 미분 문제

Kramers-Moyal의 naive한 형태

Kramers-Moyal Expansion에서:

양변을 로 나누고 로 치환:

문제: 좌변이 단순하지 않다!

좌변을 에 대해 Taylor 전개하면:

따라서 정확한 식은:

우변: 공간 미분만
좌변: 시간 고차 미분들!

→ 이것을 어떻게 제거할 것인가?

Recursive Substitution Method

아이디어: “시간 미분을 공간 미분으로 바꾸는 꼼수”

핵심: Equation (4) 자체를 이용해서 을 로 표현!

Step 0: 1차 근사 (leading order)

Equation (4)에서 leading order만 남기면:

Step 1: 를 제거

양변에 를 적용:

이제 에 다시 Equation (5)를 대입:

정리하면:

Step 2: Equation (5)에 대입

Equation (7)을 Equation (5)에 대입:

항과 항을 모으면:

최종 결과: Cumulant Expansion

Equation (8)에 cumulants를 대입하면:

일반적으로:

Recursive substitution의 결과로 cumulants들이 나온다

Gram-Charlier Expansion 해

Green Function 문제

초기 PDF가 디락 델타인 경우의 PDF의 시간 진화를 푼다면 다음 결과를 얻을 수 있다.
역시 푸리에 공간에서 연산하는 게 편하다.

물리적 의미

Kramers-Moyal vs Gram-Charlier

	Kramers-Moyal	Gram-Charlier
Coefficients	Moments	Cumulants
시간 미분	1차만	고차 항 recursive 제거
Asymptotic validity	❌	✅

Questions & Insights

Q: 당신의 unbinding model과의 연결?

핵심: Energy-dependent waiting time

1. 각 site 에서 머무는 시간의 cumulants:

2. Survival conditioning → effective cumulants 변형:

3. 이 이 최종 MSD의 exponent 결정!

Q: 왜 이것이 CTRW의 준비인가?

Montroll-Weiss equation도 유사한 테크닉:

• Waiting time 의 Laplace transform
• Cumulant expansion in Laplace space
• Long-time limit → power-law decay
• MSD ~ 의 계산

Related Concepts

• Kramers-Moyal Expansion
• Cumulant Generating Function
• Central Limit Theorem
• Moment Generating Function
• Bachelier’s Equation (Convolution theorem)

References

• MIT OCW 18.366, Lecture 9 (Bazant)
  Lecture 9 Kramers­Moyall Cumulant Expansion.pdf

Notes from Claude

이 강의의 핵심은 “왜 cumulants가 올바른 변수인가?” 를 recursive substitution이라는 구성적 방법으로 보여주는 것입니다.

당신의 survival bias 문제와의 연결:

• Survival conditioning은 waiting time distribution을 변형합니다
• 변형된 분포 = 원래 분포의 weighted version
• 이 weighted distribution의 cumulants가 subdiffusion을 결정합니다
• Day 4-5에서 이것을 정확히 계산하는 법을 배울 것입니다!

이 노트의 recursive method는 CTRW 계산의 핵심 기법입니다. 완전히 이해하고 넘어가세요!