Kramers-Moyal Expansion
Overview
Discrete random walk에서 continuous PDE로 넘어가는 체계적인 방법
Kramers-Moyal expansion은 Bachelier’s Equation (Convolution theorem)
이것을 연속 시공간의 편미분방정식(PDE) 으로 변환하는 테크닉이다.
핵심 아이디어는: step size y가 충분히 작을 때, 확률 분포
그 결과 최종적으로 이런 식이 나온다.
첫 두 항만 남기면 → Fokker-Planck equation (advection-diffusion)
하지만 이 expansion에는 미묘한 문제가 있다…
Symbol Table
| Symbol | Meaning |
|---|---|
| N번 step 후 위치의 이산 확률 분포 | |
| 연속 시공간에서의 확률 밀도: | |
| 한 step의 변위 분포 (single-step PDF) | |
| Step 간 시간 간격 | |
| step size의 n차 moment: | |
| Jump coefficient: | |
| Step size의 표준편차 |
출발점: Bachelier’s Equation
Bachelier’s Equation (Convolution theorem)에서:
Taylor Expansion
Step 1:
y가 작게 변한다고 치고
Step 2: Bachelier’s equation에 대입
Linearity of integration:
Step 3: 테일러 급수에서 나온 polynomial과 확률 분포 적분이 만나 moments가 나옴
따라서:
PDE로 변환
시간 미분 근사
Jump Coefficients 정의
최종 결과: Kramers-Moyal Expansion
명시적으로:
물리적 해석
각 항의 의미
| 항 | 의미 |
|---|---|
| Drift (평균 속도) | |
| Diffusion (확산) | |
| Skewness (비대칭성) | |
| 고차 비선형 효과 |
Fokker-Planck Equation
첫 두 항만 남기면:
여기서:
(drift velocity) (diffusion coefficient)
Advection-Diffusion Equation
왜 테일러 전개가 정당화되는가?
Continuum Limit의 조건
이때:
-
Step size distribution
: - 폭 ~
(small!) 이면 - 점점 더 뾰족해짐 (→
-function처럼)
- 폭 ~
-
Position distribution
: - 폭 ~
(large!) - 이 스케일에서는 완만하게 변함
→ Taylor 전개 정당화!
- 폭 ~
이 Expansion의 문제점
1. 시간 미분의 근사 문제
좌변:
우변: 모든 공간 고차 미분 포함
고차 시간 미분이 사라졌다!
더 정확한 전개:
이다. 왜냐면
이기 때문
이것을 고려하면 훨씬 복잡한 PDE가 됨 (Lecture 8의 식 11 참조)
2. Moments vs Cumulants
Kramers-Moyal expansion은 moments
하지만 cumulants
왜냐하면:
(평균의 제곱 포함) (진짜 분산)
Central Limit Theorem에서 중요한 것은 cumulants!
Continuum Limit의 조건
정확히 언제 성립하는가?
더 정확히:
이때:
- Step size:
- 총 변위:
(유한)
Related Concepts
- Bachelier’s Equation (Convolution theorem)
- Chapman-Kolmogorov Equation
- Central Limit Theorem
- Cumulant Generating Function
- Moment Generating Function
- Gram-Charlier Expansion
References
- MIT OCW 18.366, Lecture 8 (Bazant)
Lecture 8 The Continuum Limit.pdf