Chapman-Kolmogorov Equation

Overview

Bachelier’s Equation의 일반화: 위치와 시간에 의존하는 전이 확률

Chapman-Kolmogorov equation은 Bachelier’s Equation (Convolution theorem)을 더 general하게, Markov process 전반에 적용할 수 있도록 확장한 것이다.

핵심 차이점:

• Bachelier: Step size의 확률 분포 가 항상 동일
• Chapman-Kolmogorov: 전이 확률 가 조건부 확률, 현재 위치 와 시간 에 의존

이걸 Kramers-Moyal Expansion한 결과는

위치와 시간에 따라 달라지는 moments를 사용한다.

Symbol Table

Symbol	Meaning
	연속 시공간에서의 확률 밀도 함수 (PDF)
	조건부 전이 확률: 시간 에 위치 에 있던 입자가 시간 에 위치 로 이동할 확률 밀도
	step 사이 작은 시간 간격
	n차 moment (위치 , 시간 에 의존)
	Jump coefficient: (위치와 시간 함수!)

Bachelier Equation의 한계

Bachelier’s Equation (Convolution theorem)에서:

여기서 는:

• Step size의 확률 분포
• 위치와 무관 (IID steps)
• 항상 동일한 분포

문제점: 현실은 더 복잡하다

실제 물리계에서:

• Energy landscape가 불균일 → 위치에 따라 다른 hopping rate
• External force가 작용 → 시간에 따라 조건 변화
• Particle의 내부 상태 → Markovian but inhomogeneous
  → Step size 분포가 위치에 따라 달라짐

Chapman-Kolmogorov Equation

조건부 전이 확률의 도입

위치 에 있던 입자가 한 step 후 로 이동하는 확률을:

로 표기. 이것은:

• 와 에 의존하는 함수
• 에 대해 normalize:

Chapman-Kolmogorov Equation

물리적 의미:

1. 시간 에 에 있을 확률:
2. 그 위치에서 로 갈 확률:
3. 모든 가능한 출발점 에 대해 적분

Bachelier Equation과의 관계

만약 가 displacement만 의존한다면:

이 경우 식 (2)는:

변수 변환 :

→ Bachelier’s Equation으로 다시 돌아온다.

Moments의 위치 의존성

n차 moment:

중요: 이 이제 와 의 함수!

예시:

• Deep trap (): (거의 안 움직임)
• Shallow trap (): 큼 (빠르게 확산)

Kramers-Moyal Expansion (General Case)

Kramers-Moyal Expansion과 동일한 방법으로 전개하면:

또는 Jump coefficient 를 사용하면:

핵심 차이점:

Bachelier의 Kramers-Moyal	Chapman-Kolmogorov의 Kramers-Moyal
= 상수	= 위치와 시간의 함수

Product rule 주의!

도 에 의존하므로 미분 시 product rule 적용!

CTRW와의 연결

Chapman-Kolmogorov equation은:

• Discrete time Markov process
• Continuous space

**CTRW (Continuous Time Random Walk)**로 가려면:

• Waiting time distribution 도 위치 의존적
• Day 4의 Montroll-Weiss equation!

당신의 unbinding 모델:

→ Energy-dependent waiting time → CTRW!

Notes from Claude

Chapman-Kolmogorov equation을 이해하는 핵심:

1. “조건부 확률”의 의미: 는 “현재 상태 를 알고 있을 때 다음 상태 로 갈 확률”

2. Markov property: 미래는 현재만에 의존, 과거 이력은 무관

3. 당신의 모델에 직접 적용:

   • 현재 lattice site
   • 현재 binding energy
   • → hopping rate

4. Survival conditioning의 영향:

   • 오래 살아남은 입자 → 주로 deep trap 경험
   • Effective 증가
   • 감소 → subdiffusion!

이제 Fokker-Planck equation (Day 2, Lecture 13)에서 , 가 어디서 오는지 명확해졌을 것입니다!

Related Concepts

• Bachelier’s Equation (Convolution theorem)
• Kramers-Moyal Expansion
• Markov Property
• Diffusion Equation Derivation from Random Walks

References

• MIT OCW 18.366, Lecture 13 (Bazant)
  Lecture 13 Discrete and Continuous Stochastic Processes.pdf