스라소니 머릿속에는

Lagrangian in Rotating Coordinate, Coriolis force

8 min read

Rotating Coordinate Systems

Overview

라그랑지안 형식론이 임의의 좌표계에서도 성립함을 보여주는 예제.
관성계에서 정의된 자유입자의 라그랑지안을 회전 좌표계로 변환하면, 오일러-라그랑주 방정식으로부터 원심력과 코리올리 힘이 자동으로 도출된다.

벡터를 벡터로 미분하는 수학적 스킬도 다루었다.

기호의미
관성계에서의 위치 벡터
회전 좌표계에서의 위치 벡터
회전 좌표계의 각속도 벡터
각속도의 크기

Key Points

설정

관성계에서 자유입자의 라그랑지안:

축을 중심으로 각속도 로 회전하는 좌표계를 도입한다. 두 좌표계의 관계:

라그랑지안 변환 (식 2.19)

위 관계식을 에 대입하면:

핵심: 관성계의 속도 는 회전 좌표계에서 로 표현된다.
는 회전으로 인해 추가되는 속도 항이다.

편의상 로 정의하면 .

오일러-라그랑주 방정식 적용 (식 2.20)

계산:

는 에 무관하므로:

는 상수이므로 시간미분하면:

계산:

는 에 무관하므로, 항만 기여한다.
벡터 항등식을 이용하면:

처음에는 벡터로 미분하는 게 어색했었다.
그냥 성분별로 미분을 구한 다음 다 같이 합치면 된다.

운동방정식 (식 2.21)

오일러-라그랑주 방정식 에 대입하고 정리하면:

항이름특징
원심력 (Centrifugal force)에 수직인 평면에서 바깥쪽을 향함
코리올리 힘 (Coriolis force)속도에 수직, 대기/해류 대순환의 원인

이 두 힘은 가상력(fictitious forces): 회전 좌표계를 사용하기 때문에 나타나는 것이지, 실제 상호작용이 아니다.

라그랑지안 접근의 강점

뉴턴 방정식으로 회전 좌표계의 운동방정식을 유도하려면 좌표 변환을 일일이 수작업으로 해야 한다. 반면 라그랑지안 접근에서는:

  1. 관성계의 을 정의한다.
  2. 좌표 변환을 에 대입한다.
  3. 오일러-라그랑주 방정식을 적용한다.

가상력이 자동으로 유도된다.

Questions & Insights

  • 일반상대론에서 중력은 원심력, 코리올리 힘과 동일한 의미의 “가상력”이다 (등가원리). 이 연결이 흥미롭다.
  • 벡터 미분 를 계산할 때, 성분별로 쪼개면 연산자가 자연스럽게 나온다. 벡터 미분이 어색할 때는 항상 성분 분해가 안전하다.

References

Notes from Claude

벡터를 벡터로 미분하면 무엇이 나오는가?

미분의 결과는 분자/분모가 스칼라인지 벡터인지에 따라 달라진다.

미분결과
스칼라 / 스칼라스칼라
스칼라 / 벡터벡터 (gradient)
벡터 / 스칼라벡터
벡터 / 벡터텐서 (행렬)

에서 은 스칼라이므로, 결과는 벡터(gradient)가 된다.

를 텐서를 통해 유도하기

chain rule을 적용하면:

여기서 는 벡터를 벡터로 미분한 것이므로 텐서가 된다. 에서 에 의존하는 항은 뿐이므로, 일 때:

이제 벡터 텐서 = 벡터 수축을 적용한다. 를 대입하면:

반교환성 를 적용하면:

흐름 요약:

텐서

텐서가 중간에 등장하지만, 벡터와 수축되면서 결국 벡터로 귀결된다.

레비-치비타 기호로 더 깔끔하게 유도하기

준비: 외적의 번째 성분을 레비-치비타 기호로 쓰면:

따라서 .

계산:

chain rule 적용:

에서 에 의존하는 항은 뿐이므로:

대입하면:

레비-치비타 반대칭성으로 정리:

를 적용:

외적의 정의 와 를 이용하면:

모든 성분 에 대해 성립하므로 벡터로 올리면:

텐서 방법과 비교:

텐서 방법레비-치비타 방법
핵심 도구텐서 수축 반대칭성
중간 과정 행렬 명시인덱스 치환으로 압축
장점구조가 시각적으로 명확일반적인 에도 바로 적용 가능

레비-치비타 방법이 더 깔끔한 이유: 으로 인덱스 하나가 즉시 사라지고, 이후 반대칭성 한 번으로 외적 형태가 바로 나오기 때문이다.

그래프 뷰

백링크