AM lecture note - Coordinate transformation invariance of Lagrangian equation

강의 필기

이것은 Analytical Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

AM lecture note - Lagrangian for fields

오늘의 핵심

정리를 끝내고 나서 핵심을 이곳에 적기.
AI한테 시켜도 되는데 추천은 안 함.

필기 내용

라그랑주 방정식도 coordinate transform에 invariant 한가?

변환 되기 이전 좌표인 와 변환된 이후 좌표인 가 있다.

개의 particles와 3-dimension을 가정한다.

는 변환 이전의 모든 좌표와 시간에 의존한다.

는 의 시간에 대한 전미분으로 정의된다.

반대로 도 의 함수:

변환을 취하기 위해 필요한 건 자코비안이다.

행렬로 쓰면:

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라그랑주 방정식이 변환에 invariant 라면

이를 증명하려면, 은 와 의 함수이므로 chain rule을 적용한다.

계산:

여기서 를 계산하면:

따라서:

계산:

는 에 의존하지 않으므로 첫 항은 0이다. 두 번째 항에서:

따라서:

---

마침내, 불변성 증명

자체 풀이

아래 유도는 수업에서 생략된 부분을 직접 계산한 것.

대입, 그리고 를 앞에서 구한 식으로 대입하면:

두 번째와 네 번째 항이 상쇄되어:

이 괄호 안이 바로 좌표에서의 라그랑주 방정식이므로, 그것이 0이면:

결론: 라그랑주 방정식은 좌표 변환에 대해 불변이다.
좌표변환된 라그랑주 방정식을 얻고 싶다면 바로 자코비 행렬을 이용하면 된다.

변환된 좌표계에서 라그랑지안 역학이 사용되는 예

Tong 강의록에 그대로 있다.
중간 풀이 과정을 추가한 내용을 별도 노트에 정리했다.
Lagrangian in Rotating Coordinate, Coriolis force

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궁금한 내용

인가?

증명 과정에서 이 관계를 사용했는데, 맞는가?

AI의 보충 설명

는 맞다

이건 “와 의 교환 가능성” 이라고 불리는 관계로, 라그랑지안 역학에서 자주 쓰인다.

이므로 는:

이를 로 편미분하면 (는 에 의존하지 않으므로):

한편 를 chain rule로 전개하면:

두 식이 완전히 같다.

연관 학습 노트

References

Tong의 강의록
2 The Lagrangian Formalism.pdf

다음 강의

AM lecture note - Holonomic constraints

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