AM lecture note - Lagrangian for fields

강의 필기

이것은 Analytical Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

AM lecture note - Lagrangian mechanics

오늘의 핵심

정리를 끝내고 나서 핵심을 이곳에 적기.
AI한테 시켜도 되는데 추천은 안 함.

필기 내용

라그랑주 역학 복습 — Action principle 유도

지난 시간, 뉴턴 역학을 라그랑지안으로 바꾸는 법을 배웠다.

이런 미분방정식으로 라그랑지안으로 표현하면

Action:

변분을 취하면:

테일러 전개

따라서:

적분 속 두 번째 항에 부분적분을 적용하면:

Dirichlet boundary condition에 의해 과 에서 는 0이므로, 는 0이 되어 사라진다.
풀어낸 결과를 본래 식에 적용하면.

최소 작용이라면 엑션이 극값을 가지므로 이다.
그러면 라그랑주 방정식이 나온다.

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Higher-order Lagrangian — 를 포함하는 경우

만약 라그랑지안이 아래 형태라면?

이 경우 equation of motion은 어떻게 될까?
이었을 때와 똑같이 나온다.
왜냐면 라그랑지안에 붙은 시간에 대한 전미분 항은 equation of motion을 변화시키지 않기 때문이다. 왜 그런지 직접 풀어보겠다.

자체 풀이

아래 유도는 수업에서 생략된 부분을 직접 계산한 것.

일 때 라그랑주 방정식을 직접 구해보자.

이 경우 라그랑지안을 와 에 대한 함수로 보아야 하는 것 같다.

변분을 취하면:

두 번째 항을 두 번 부분적분하면:

경계조건: 이고 이면 경계 항들이 사라진다.

이어야 한다는 조건들은 라그랑지안이 였을 때는 필요 없었던 경계 조건이다.

따라서:

Equation of motion:

풀어보면 ():

원래 방정식과 같다!

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Total derivative와 action의 관계

자체 풀이

아래 분석은 직접 계산한 것.

라그랑지안에 붙은 시간에 대한 전미분 항은 equation of motion을 변화시키지 않는 이유는 간단하다. 액션에 상수항을 추가하는 기능을 하기 때문이다.

이 아래 형태일 때:

이 형태로 풀게 된다면, action은:

경계에서 , 이라는 조건이 있다면,

결론 (강의에서 들은 메시지): 시간에 대한 total derivative는 equation of motion에 영향을 주지 않지만, boundary condition에 관여하게 된다.

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어떤 미분방정식이든 라그랑지안으로 나타낼 수 있다

자체 풀이

아래 두 예제(wave equation, Schrödinger equation)는 강의에서 결과만 제시되었고, 유도 과정은 직접 계산한 것.

Example 1. 1D Wave equation

Wave equation: (c는 빛의 속도 아니면 파동의 속도)

이에 대응하는 라그랑지안:

은 이제 , , 의 함수이다.

Wave equation의 solution의 world line은 의 공간에 그려진다. 는 와 의 함수이므로, 의 변분은:

Action의 변분은, 계산할 때 와 에 대해 적분해야 한다. 왜냐면 (아마도) world line이 의 공간에 있으니까.

마지막 두 term에 부분적분을 시행하여 정리한다.

마지막 term은 가 각 boundary에서 0이면 사라진다.

마지막 term은 가 각 -boundary에서 0이면 사라진다.

정리하면:

일 때 라그랑주 방정식 (field 버전):

을 대입하면 wave equation이 나온다. ✓

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Example 2. Schrödinger equation

여기서도 world line은 , , 의 공간에 그려지며, 라그랑지안은 , , 의 함수이다.

라그랑주 equation은 wave equation의 경우와 동일:

라그랑지안은 이렇게 주어진다:

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궁금한 내용

Higher-order Lagrangian의 경계조건

이라는 조건은 어디서 오는 것인가? 표준 라그랑지안에서는 만 요구했는데.
→ 당연히 world line에서 경로의 시작과 끝의 위상은 고정이라는 조건에서 주어지는 것 아닐까?

라그랑지안 역학을 공부할 때마다 느끼지만

위치하고 속도를 완전히 독립적인 변수로 두는 게 말이 되는가?
world line이 시공간에서 연속적으로 그려지기 위해서는 미래의 위치가 과거의 속도에 의해 결정될 수밖에 없지 않나?

AI의 보충 설명

Higher-order Lagrangian의 경계조건 — 은 어디서 오는가?

이 직관 — “world line의 시작과 끝 위치가 고정된다는 조건” — 은 절반만 맞다.

“위치 고정” → 은 맞다. 그런데 위치가 고정된다고 해서 속도까지 자동으로 고정되지는 않는다. 두 끝점이 같더라도 그 점에 도달하는 속도는 얼마든지 다를 수 있기 때문이다.

수학적으로: 이지만 인 변분은 얼마든지 존재한다.

그러면 은 어디서 오는가? 표준 라그랑지안 에서는 부분적분이 한 번이므로 경계 항이

이고, 만으로 충분했다. 그런데 처럼 higher-order가 들어오면 두 번 부분적분이 필요하고, 경계 항이 두 개가 생긴다:

두 번째 항은 으로 사라지지만, 첫 번째 항은 이라는 별도의 조건 없이는 사라지지 않는다.

즉, 은 위치 고정에서 자동으로 따라오는 게 아니라, higher-order Lagrangian에서 변분법이 작동하려면 추가로 부과해야 하는 경계조건이다.

이것이 왜 문제인가 — Ostrogradsky instability

표준 라그랑지안은 경계에서 위치만 고정하면 됐다. Higher-order가 들어오면 위치 + 속도를 동시에 고정해야 한다. 이는 사실상 초기조건을 통째로 경계에서 묶는다는 뜻이고, 더 심각하게는 이런 이론은 에너지가 아래로 무한히 내려가는 불안정성(Ostrogradsky instability) 을 가진다. 이것이 물리학에서 가능하면 higher-order를 피하고 형태로 쓰는 것을 선호하는 이유이다.

앞서 직접 유도한 결론 — 와 이 total derivative 하나 차이라는 것 — 이 사실 중요한 이유가 여기 있다. 물리적으로 동등하지만, 후자가 경계조건도 단순하고 안정적이다.

와 를 독립변수로 두는 것이 말이 되는가?

라그랑지안 역학을 공부하면서 자연스럽게 드는 의문이다. world line이 시공간에서 연속적으로 그려지려면 미래의 위치가 과거의 속도에 의해 결정될 수밖에 없는데, 그렇다면 와 를 독립적으로 취급하는 게 정당한가?

이 혼란은 두 가지 다른 맥락을 섞는 데서 온다.

방정식을 도출하는 단계에서는 와 를 독립변수로 본다. 이건 라는 함수의 편미분을 정의하기 위한 수학적 장치다. 에서 를 구할 때 를 상수 취급하는 것처럼, 함수의 인자들을 형식적으로 독립적으로 다루는 것이다. 만약 처음부터 를 넣어버리면 라는 표현 자체가 정의되지 않는다.

운동방정식이 결정된 이후에는 와 사이의 관계가 복원된다. 라는 구속이 되살아나고, world line은 연속적으로 그려진다. 실제로 오일러-라그랑주 방정식은 2계 ODE이고, 초기조건 와 를 주면 이후 궤적이 완전히 결정된다.

즉 순서는 이렇다:

와 를 독립으로 취급 → 오일러-라그랑주 방정식 도출 → 그 방정식의 해로서 실제 경로를 구할 때 비로소 관계가 적용됨

비유하자면, 열역학에서 , , 를 이상기체 법칙 없이 독립변수로 취급해서 편미분을 정의하는 것과 같다. 구속 관계는 나중에 적용하는 것이다.

연관 학습 노트

Lagrangian Mechanics
AM lecture note - Lagrangian mechanics

References

Tong의 강의록
2 The Lagrangian Formalism.pdf

다음 강의

AM lecture note - Coordinate transformation invariance of Lagrangian equation

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