Stirling Approximation

Overview

Stirling approximation은 큰 수 에 대한 팩토리얼 을 근사하는 공식이다. 통계역학, 조합론, 확률론 등에서 매우 자주 사용되며, 특히 미시상태 수나 엔트로피 계산에서 필수적이다.

물리학자는 이것만 알면 된다. 대부분 n이 아주 클 떄만 사용하므로

1부터 n까지의 기하 평균이 대충 n/e이다!

주요 공식

기본 형태

로그 형태 (가장 많이 사용)

이 충분히 클 때, 마지막 항은 무시할 수 있어서:

나는 이걸 어떻게 외우는 게 더 편했냐면, 3번 식에서 로그를 풀어서

n!은 1부터 n까지 숫자가 n번 곱해지는 거잖아?
가 곱하기적 평균 값(이것이 바로 기하 평균)이라는 뜻 처럼 보여서 의미심장하다.
이런 곳에서 자연 상수가 등장하다니.

더 간단한 근사

매우 거친 근사가 필요할 때:

근사의 정확도

	(정확값)	Stirling 근사	상대 오차
1	1	0.92	8%
5	120	118.02	1.6%
10	3,628,800	3,598,696	0.8%
20			0.4%

n이 20 정도만 되어도 정확도가 쓸만하구나?

유도 개요

Stirling approximation은 다음과 같이 유도할 수 있다:

1. 팩토리얼의 로그를 취한다:

2. 이 합을 적분으로 근사한다:

3. 적분을 계산한다:

4. 더 정밀한 유도를 위해 Euler-Maclaurin 공식이나 감마 함수를 이용할 수 있다.

통계역학에서의 응용

엔트로피 계산

엔트로피 를 계산할 때, 미시상태 수 가 종종 팩토리얼을 포함한다.

예: 개 입자를 구별 가능한 상태로 배치할 때

Stirling approximation을 사용하면:

이항 계수 근사

로그를 취하고 Stirling approximation을 적용:

사용 시 주의사항

1. 이 충분히 커야 한다: 일반적으로 정도면 괜찮은 근사
2. 로그 형태로 사용하기: 팩토리얼 자체가 아닌 를 계산할 때 특히 유용
3. 필요한 정확도 확인: 문제에 따라 식 (2), (3), (4) 중 적절한 것을 선택

Key Points

• Stirling approximation은 큰 수의 팩토리얼을 다루기 쉬운 형태로 근사
• 로그 형태: 이 가장 많이 사용됨
• 통계역학에서 엔트로피와 미시상태 수 계산에 필수적
• 이 클수록 정확도가 향상됨

Questions & Insights

• 왜 가 자연스럽게 등장하는가? → 적분 근사와 자연로그의 성질 때문
• Euler-Maclaurin 공식을 이용한 더 정밀한 유도는?
• 감마 함수 와의 관계는?

Related Concepts

• Central Limit Theorem - 큰 수의 법칙과 연관
• microcanonical ensemble의 entropy - 엔트로피 계산에 사용
• 여러 시스템의 미시 상태 수 예제 - 미시상태 수 계산 예제
• 이상 기체가 양쪽 박스에 있을 확률 다차원 이항 분포 - 이항 분포 근사

References

Notes from Claude

이 노트는 Stirling approximation의 기본 개념과 통계역학에서의 응용을 다룹니다. 특히 로그 형태의 근사가 왜 유용한지, 그리고 언제 사용해야 하는지를 강조했습니다.

팩토리얼이 등장하는 대부분의 통계역학 문제에서 이 근사는 필수적입니다. 형태를 외워두면 매우 유용합니다!