스라소니 머릿속에는

Canonical Ensemble Partition Function

7 min read

Canonical Ensemble Partition Function

Overview

Canonical ensemble의 partition function (분배함수) Z는 모든 상태에 대한 Boltzmann factor의 합으로 정의된다. 이는 통계역학에서 가장 중요한 함수 중 하나로, 시스템의 모든 열역학적 성질을 유도할 수 있는 생성함수(generating function) 역할을 한다.

Symbols and Notations

SymbolMeaning
Partition function (분배함수)
, inverse temperature
Boltzmann constant
Temperature
Energy of state
Probability of state
Average energy
Helmholtz free energy
Heat capacity at constant volume
Magnetic moment
External magnetic field

Key Points

Definition of Partition Function

Canonical ensemble에서 partition function은 다음과 같이 정의된다:

여기서 합은 시스템의 모든 가능한 미시상태(microstate)에 대해 수행된다.

Physical Meaning

  • Partition function은 시스템이 취할 수 있는 모든 상태의 “통계적 무게”를 합한 것
  • 가 크다 = 접근 가능한 상태가 많다 = 높은 엔트로피
  • 온도 에서 시스템의 열역학적 성질을 완전히 결정

Partition Function을 통해 물리량 구하기

1. Probability of Each State

각 상태 가 발견될 확률은:

이는 정규화 조건 을 만족한다.

유도:
Canonical ensemble에서 Boltzmann factor 는 상태 의 상대적 확률을 나타낸다. 이를 정규화하면:

2. Average Energy

시스템의 평균 에너지는:

이를 partition function의 미분으로 표현할 수 있다:

유도:

따라서:

3. Helmholtz Free Energy

Helmholtz free energy는 partition function과 직접 연결된다:

이로부터:

의미: Free energy는 시스템이 유용한 일을 할 수 있는 에너지를 나타낸다.

유도:
열역학적 관계식 와 를 이용하면 위 식을 얻을 수 있다.
→ 교과서 이용해서 내용 추가하기

4. Entropy

Entropy는:

또는:

5. Heat Capacity

정적 비열(heat capacity at constant volume)은:

이는 에너지 요동(energy fluctuation)과도 관련된다:

Example: 2-State Paramagnetic System

System Setup

  • N개의 독립적인 자기 쌍극자(magnetic dipoles)
  • 각 쌍극자는 spin up () 또는 spin down () 상태
  • 외부 자기장 B에 의해서만 에너지가 결정 (쌍극자 간 상호작용 무시)
  • Spin up 에너지:
  • Spin down 에너지:

Single Dipole Partition Function

하나의 쌍극자에 대한 partition function:

Probabilities

Spin up일 확률:

Spin down일 확률:

검증: ✓

Average Energy of Single Dipole

물리적 의미:

  • (즉, ): 이므로 (모두 spin up)
  • (즉, ): 이므로 (spin up과 down이 동일 확률)

Total System of N Dipoles

N개의 독립적인 쌍극자의 partition function:

평균 에너지:

Heat Capacity

식 를 이용하여 비열을 구할 수 있다:

물리적 특징:

  • : (양자 통계에 의한 freezing)
  • : (모든 상태가 동등하게 점유)
  • 중간 온도에서 최댓값을 가짐 (Schottky anomaly)

Questions & Insights

  • Partition function이 생성함수 역할을 한다는 것이 흥미롭다. 단 하나의 함수에서 모든 열역학적 성질을 유도할 수 있다.
  • 가 extensive quantity인 이유는? → N개 독립 입자면 이므로
  • Canonical ensemble과 microcanonical ensemble의 partition function은 어떻게 다른가?
  • Grand canonical ensemble에서는 어떻게 확장되는가?

References

Notes from Claude

이 노트는 사용자가 작성한 초안을 바탕으로 학습 노트 템플릿에 맞춰 재구성하고 내용을 추가한 것입니다.

핵심 개념:

  1. Partition function은 통계역학의 중심 도구
  2. 미분을 통해 모든 물리량을 유도 가능
  3. 2-state paramagnetic system은 가장 간단하면서도 본질적인 예제

그래프 뷰

백링크