Transition Rate Matrix vs Transition Probability Matrix
Overview
마르코프 과정을 기술하는 두 가지 행렬: transition probability matrix (이산 시간)와 transition rate matrix (연속 시간). 둘은 서로 다른 제약 조건을 만족하며, infinitesimal generator 관계로 연결된다.
Symbol Table
| Symbol | Meaning |
|---|---|
| Transition probability from state | |
| Transition rate from state | |
| Small time interval |
Transition Probability Matrix (
정의:
= 상태 에서 상태 로 전이할 확률 - 무차원 (dimensionless)
- 값의 범위:
제약 조건:
각 열(또는 행, convention에 따라)의 합이 1
시간:
- Discrete-time Markov chain
물리적 의미:
- “30% 확률로 전이”
- 한 time step에서의 전이
Transition Rate Matrix (
정의:
(for ) = 상태 에서 상태 로 전이하는 rate (단위시간당 전이 확률) - 차원:
- 값의 범위:
for
제약 조건:
각 열의 합이 0
Diagonal elements:
나가는 rate들의 총합을 음수로
의미상 i 상태에서 i로가는 rate니까 i에 남아있는 rate를 나타내야할 것 같은데, 실상을 보면 반대로 escape rate의 값을 갖고 있다.
시간:
- Continuous-time Markov process
- Master equation:
물리적 의미:
- “초당 0.3번 전이”
- Infinitesimal rate
두 행렬의 관계
Taylor expansion:
여기서:
: 짧은 시간 동안의 전이 확률 행렬 : Infinitesimal generator (transition rate matrix) : Identity matrix
의미:
는 의 시간 미분 (at )
항등행렬로 한번 뺴준다는 건 transition과 관련된 성분만 남기겠다는 의미
왜 Rate Matrix의 열 합이 0인가?
확률 보존(probability conservation)을 보장:
각
즉, 전체 확률이 보존됨.
Comparison Table
| Property | Probability Matrix | Rate Matrix |
|---|---|---|
| Time | Discrete | Continuous |
| Dimension | Dimensionless | [time] |
| Constraint | ||
| Diagonal | ||
| Off-diagonal | ||
| Evolution | ||
| Meaning | ”확률" | "rate (단위시간당)“ |
Questions & Insights
- Rate matrix가 generator matrix라고 불리는 이유: continuous-time semigroup
의 infinitesimal generator - Probability matrix에서 rate matrix 유도 가능:
- Rate matrix는 항상 음의 고유값을 가짐 (stability) → 오호
Related Concepts
- Markov Property
- Journal reading - Shortcuts in Stochastic Systems and Control of Biophysical Processes
References
- Ilker et al., “Shortcuts in Stochastic Systems and Control of Biophysical Processes”, Phys. Rev. X 12, 021048 (2022), Section II.A
Notes from Claude
이 두 행렬의 차이를 이해하는 것이 master equation을 다루는 데 중요하다. 특히 생물물리 시스템에서는 continuous-time description이 자연스러운데, 이때 rate matrix
Ilker 논문에서