Spectral dimensions for one-dimensional critical long-range percolation

Spectral dimension의 정의

Spectral dimension의 식

Overview

1차원 정수 격자 위에서 정의된 critical long-range percolation (β-LRP) 모델의 simple random walk에 대해 quenched/annealed spectral dimension이 모두 로 존재함을 증명한 논문. 여기서 은 이 모델에서 effective resistance가 거리에 대해 갖는 growth exponent. Kumagai–Misumi (2008)의 volume/resistance 기반 heat kernel 추정 기법을 이 특정 모델에 적용해서, 기존에 미해결로 남아있던 (critical) 케이스의 spectral dimension 존재성을 확립함.

사용자의 K-matrix (graph Laplacian) 기반 연구와의 연결점: 이 논문의 그래프는 장거리 edge가 거리에 따른 power-law 확률로 무작위로 생기는 구조이고, 이는 사용자의 loop-extrusion 유래 K-matrix의 sparse random long-range coupling과 구조적으로 유사함. 특히 이 논문은 quenched와 annealed spectral dimension이 같다는 것을 증명했으므로, “annealed vs quenched spectrum” 노트에서 다룬 우려는 의 spectral exponent에 한해 이 정리로 해소된다. (단, 여기서 annealed는 heat kernel의 기댓값 이지 K-matrix 자체를 ensemble average한 뒤 대각화하는 “annealed matrix” 근사가 아니다. 후자는 별개의 문제로 여전히 unverified.)

Link to PDF and DOI

• PDF: Spectral dimensions for one-dimensional critical long-range percolation.pdf
• DOI: https://doi.org/10.1214/26-EJP1568

주요 내용 요약

이 논문의 결론

Spectral dimension은 로 결정된다. Quanched와 annealed모두 같은 식을 따른다.
이때, 는 effective resistance의 exponent이며, 의 함수이다.
,
아쉽게도, 의 exact한 식은 밝혀져 있지 않다.

Property of graph

1D lattice이며, 바로 근접한 이웃 사이는 무조건 edge가 있다.
먼 이웃 x와 y를 잇는 edge는 에 dependent한 확률로 생성된다.

, 는 free parameter

내 모델과의 identification (2026-09-03 추가)

이 -LRP는 critical_power_loop 알고리즘의 , allow_multi=True 버전과 동일한 확률 모델이다. “구조적으로 유사”한 수준이 아니다.

항목	-LRP (Fan & Huang)	critical_power_loop ()
backbone	edge 확률 1	polymer chain bond
long edge kernel
정규화	위 kernel의 계수	동일 (별도 매핑 불필요)
한 site에 여러 edge	허용 (independent Bernoulli)	allow_multi=True
edge weight	모두 1	spring constant

• 논문의 와 내 는 large 에서 같은 계수이므로, sweep 결과를 이 논문의 와 직접 비교할 수 있다. (작은 에서 버전과 버전은 상수 차이가 있지만 exponent에는 영향 없음.)
• allow_multi=False (nomulti) 변형은 exclusion 제약 때문에 edge들이 독립이 아니게 되어 정리의 전제(independent Bernoulli edges)를 벗어난다. 이 변형에 대해서는 아래 결과를 그대로 적용할 수 없다.
• lin vs ring: 논문은 무한 이고 내 시뮬레이션은 유한 이다. 유한 크기 효과는 별도 문제.

Simple random walk process

Graph위의 random walker는 edge를 이용해 다른 vertex로 이동한다. 현 위치에 연결된 edge중 하나를 선택할 확률은 동등하다.

Heat kernel

Spectral dimension

1st definition (with density of states)
2nd definition (with return probability of random walker)

두 정의의 연결

논문은 2nd definition (SRW의 return probability)으로 증명했고, 내 는 1st definition (K-matrix의 eigenvalue counting)에서 나온다. 둘은 trace 공식으로 연결된다.

좌변은 integrated density of states 의 Laplace transform이므로, Tauberian argument로

즉 는 공간 평균된 heat kernel에 대해 성립한다. 논문의 annealed 는 인데 translation invariance 덕분에 이것이 곧 공간 평균이고, quenched 와 같다는 것이 정리의 내용이므로 어느 정의로 가도 같은 exponent에 도달한다.

K-matrix와 논문의 heat kernel은 다른 operator이다

Operator mismatch — unverified but standard

아래 논의는 논문에 명시된 정리가 아니라 “증명이 그대로 이식된다”는 argument이다. exponent 수준에서는 틀릴 여지가 거의 없지만, 수치로 확인하기 전까지는 가정으로 취급한다.

Adjacency , degree matrix , combinatorial Laplacian 라 하면

	operator	walk	측도
K-matrix		variable-speed random walk (VSRW): edge마다 rate 1로 점프	counting measure
논문의 SRW	(즉 )	constant-speed / discrete-time SRW	degree measure

두 operator는 spectrum이 다르다. 그러나 두 walk는 서로의 time change ()이고, Kumagai–Misumi framework의 두 입력을 보면:

1. Effective resistance : edge conductance만으로 정의되므로 vertex measure와 무관. 두 operator에서 완전히 동일. 는 그대로 살아남는다.
2. Volume: 이고, 는 독립 Bernoulli의 합(평균 , Poisson급 꼬리)이라 길이 구간의 최대 degree는 . 따라서

로 두 volume은 log factor 안에서 일치한다. Theorem 1.1(1)의 quenched bound가 이미 보정을 달고 있고, Proposition 2.3(2)는 형태를 명시적으로 허용하므로, counting measure로 같은 framework를 돌려도

가 나온다. 만약 K-matrix의 exponent가 다르려면 degree fluctuation이 polynomial 수준이어야 하는데, LRP에서는 그렇지 않다.

수치 검증 방법: 같은 realization에서 의 eigenvalue와 generalized eigenproblem (= 의 spectrum)를 둘 다 구해 를 겹쳐 그린다. scaling window에서 겹치면 위 argument가 확인된다. nomulti 변형은 으로 bounded라 이 argument는 trivially 성립하지만, 대신 그래프의 확률법칙이 LRP와 달라 정리 자체가 적용되지 않는다 (위 identification 참고).

Effective resistance

가 graph속 vertex의 집합, 이 실수들의 집합일 때,
함수 는 모든 vertex가 가진 전위를 알려주는 함수이다.
이 전기 회로의 Dirichlet energy는 아래와 같이 계산된다.

Edge가 저항 1의 전선일 때, 이어진 두 vertex사이 전류는
둘 사이 에너지는 이기 때문이다.

그리고 effective resistance는 이렇게 정의된다.

즉, 보고자 하는 두 vertex 와 에서 한 쪽은 전위가 1, 다른 한 쪽은 전위가 0이라는 Dirichlet boundary condition을 준다. 이때 시스템의 에너지를 최소를 만드는 를 찾는다. 이 로 인한 Dirichlet enery의 역수가 effectrive resistance이다.

전기 회로의 합성 저항을 생각하면 effective resistance가 왜 graph위 random walk의 특성을 설명하는 변수인지 납득할 수 있다. 합성 저항은 회로의 모양(직렬, 병렬 연결)에 직접적으로 영향을 받는다. random walker는 두 지점을 잇는 경로의 다양성에 영향을 받는다.

의 정체

만큼 떨어진 두 지점 사이의 effective resistance는 에 대해 power law로 자란다는 것이 선행 연구(Ding, Fan & Huang 2025, arXiv:2504.21378, Theorem 1.1)에서 증명되었다.
이때, power law exponent가 이다.

정확한 정의는 구간 안의 기대 저항의 최댓값이다 (등호가 아니라 상수 범위 안의 ).

느슨하게 쓰면

수치로 를 잴 때

한 realization의 이 아니라, 여러 realization에 대한 기댓값(또는 구간 내 최댓값)의 -scaling으로 정의를 맞춰야 한다.

Volume scale and resistance scale

이 논문에서는 effective resistance를 공간의 metric으로 쓴다.
Long range edge를 추가하기 전, 1D lattice만 있을 때 두 vertex사이의 거리를 ,
resistance metric에서 거리를 이라고 하면,

이 의 redius 범위 내부 부피라고 하면, 1차원이므로

이 resistance scale이면 그냥 에 비례한다.

Time scale of random walker

Random walker가 거리를 휩쓰는 데 필요한 time scale을 이라 하면,

의 inverse function , 이것은 시간동안 random walker가 휩쓰는 length scale이다.

Return probability

시간 동안 휩쓴부피는

따라서,

결론은

K-matrix 연구로의 번역

내 notation (🔥MAIN - looped polymer dynamics)으로 옮기면, , 이므로

물리적으로 는 walk dimension 그 자체다. mode 의 파장 에 대해 relaxation time 이고, Einstein relation 에서 Euclidean fractal dimension (monomer는 1D contour 위에 있다), resistance exponent . 따라서

Sanity check:

• : 저항이 1D처럼 선형, , (Rouse)
• : , , (recurrence 경계)
• 그 사이에서 가 에 따라 연속적으로 변한다. 🕯️critical power loop, mu beta sweep의 곡선(sigmoid, )과 정성적으로 일치.

MSD로의 연결 (Exponents 관계식):

목표 ⇒ ⇒ . critical_power_sweep_lin_n10000_0828 기준으로 곡선이 를 지나는 지점은 근방이다. (이전에 기록한 –보다 약간 크다. 재확인 필요.)

다른 패널과의 대응

Can, Croydon & Kumagai (2022)는 를 제외한 모든 경우를 다뤘고, 에서 가 불연속임을 지적했다. Heuristic하게 ():

• : random walk가 Brownian motion으로 수렴 → , , -independent. sweep의 과 일치.
• : -stable process ()로 수렴 → , , -independent (정확한 진술은 CCK 원문 확인 필요). sweep의 가 에 거의 무관한 것과 정합. 값은 예측 0.5 vs 관측 0.7 — 창이 좁고 라 finite-size로 추정.
• **가 exponent를 결정하는 유일한 경우가 **이다.

의 함수형태 — open problem

논문은 의 존재만 증명하고 closed form을 주지 않는다. 접근 방향:

1. 유효저항으로 직접 측정. 은 sparse Laplacian linear system 하나를 푸는 문제라 –도 가능하다 (대각화의 RAM bottleneck 우회). 같은 realization에서 vs 의 기울기로 를 재고, 를 eigen- 위에 겹쳐 그리면 와 operator mismatch argument를 한 번에 검증할 수 있다. 저항은 두 walk에 공통이므로 이것이 가장 직접적인 검증이다.
2. Real-space RG heuristic. 가 marginal한 이유: 한 점을 가로지르는 길이 인 long edge의 기대 개수가 , 즉 로그 스케일당 개로 scale-invariant. 따라서 꼴의 재귀가 기대되고 . 작은 에서 ⇒ ⇒ . sweep 데이터의 구간에서 : 0.18 (), 0.35 (0.5), 0.61 (1) — 거의 선형, 기울기 . 이 선형 regime을 first-order perturbation으로 정량화하는 것이 현실적인 analytical 목표.
3. 근방의 knee. 증명 안에서 길이 구간이 거리 너머로 bridge되지 않을 확률이 로 나오고, 그 합의 수렴 여부에 따라 , , 로 case가 갈린다 (Lemma 3.3의 ). Aizenman–Newman의 이 여기서 다시 등장하는 셈. sweep의 sigmoid 중심이 인 것이 우연인지는 1번으로 확인.

큰 plateau는 finite-size일 가능성

sweep에서 가 에서 에 plateau하는데, 이론은 ()이다. 는 에서 확률이 1로 포화되므로 실질 lattice spacing이 로 재정의되고, 에서 쓸 수 있는 scale 범위가 줄어든다. 을 키워서 plateau 값이 움직이는지 확인해야 한다.

Questions & Insights

• (읽으면서 채워나갈 예정)

Related Concepts

이 논문을 이해하기 위해 필요한 학습 노트를 연결한다.

• K-matrix Diagonalization (Generalized Rouse Model)
• Fractional Laplacian and Power-law Eigenspectrum

더 읽어보고 싶은 레퍼런스

• [10] J. Ding, Z. Fan and L.-J. Huang. The polynomial growth of effective resistances in one-dimensional critical long-range percolation. arXiv:2504.21378 (2025) — 이 논문의 핵심 보조정리(효 resistance의 polynomial growth)를 증명한 선행연구 → The polynomial growth of effective resistances in one-dimensional critical long-range percolation.pdf
• [7] V. H. Can, D. A. Croydon and T. Kumagai. Spectral dimension of simple random walk on a long-range percolation cluster. EJP 27 (2022) — Spectral dimension of simple random walk on a long-range percolation cluster.pdf (볼트에 이미 존재, MAIN 노트에서 “위 논문의 후속연구”로 언급됨)
• [14] T. Kumagai and J. Misumi. Heat kernel estimates for strongly recurrent random walk on random media. J. Theoret. Probab. 21(4) (2008) — 이 논문의 핵심 증명 기법(volume+resistance → heat kernel)의 출처