K-matrix Diagonalization (Generalized Rouse Model)

Overview

이 노트는 Rouse Model에서 분리된 것으로, Rouse chain의 특정 기저 대각화(Padding 교재 §5, 식 2.48–2.50)를 임의의 connectivity를 갖는 harmonic network(GNM, Hi-C 기반 chromatin model 등; HIPPS-DIMES convention)로 일반화한다. 핵심은 connectivity matrix 의 eigendecomposition 하나로 probability density, dynamics(EOM), relaxation time, single-locus MSD, segment-averaged MSD가 모두 정리된다는 점이다.

분리 출처

본문은 Rouse Model의 “일반화: K-matrix Diagonalization” 섹션을 손실 없이 그대로 옮긴 것이다 (2026-07-10 분리). 본문에 등장하는 §5, §7, 식 (2.44)/(2.47)/(2.54)/(2.55) 등의 상호참조는 모두 Rouse Model 노트의 Part 1 내용을 가리킨다.

Key Points

일반화: K-matrix Diagonalization (GNM / HIPPS-DIMES convention)

앞의 (2.48)-(2.50)은 Rouse chain의 특정 기저에 대한 대각화였다. 이것을 임의의 connectivity를 갖는 harmonic network(GNM, Hi-C 기반 chromatin model 등)로 일반화하면, 핵심은 connectivity matrix 의 eigendecomposition 하나로 정리된다.

Gaussian netrok energy and K-matrix

각 loci의 거리에 의한 harmonic potential을 최대한 일반적으로 나타내면 아래 식이 된다.

는 해밀토니안에서 모든 2차항의 계수를 담았다. 대칭행렬이며, , 로 값이 주어진다. 이때, 안에 factor가 이미 들어있다고 친다.

Position vector 에 대해 network의 결합에너지를 이차형식으로 쓰고, 의 orthonormal eigenvector를 행으로 쌓은 와 eigenvalue 대각행렬 로 대각화한다:

이때, 는 0 아니면 음수 값만 가진다. 즉 는 negative-definite

로 을 mode vector 로 변환할 수 있다. Linear과 circular polymer의 경우, 이 과정이 discrete Fourier transform이라는 것을 나중에 보게 될 것이다.

해밀토니안을 mode vector 로 나타내면 결합항이 완전히 분리된다 (independent quadratic terms):

은 center-of-mass zero mode다.

Probability density

basis

이므로,

Multivariance normal distribution과 비교하라.

는 covariance matrix이며,
식 비교를 통해 라는 걸 알 수 있다.
그러면 평형 상태의 위치 분포로부터 covariance matrix를 얻을 수 있고, 이를 역행렬로 취하면 -matrix를 알 수 있다는 뜻이 된다. 다만, 주의할 점은 -marix가 가진 0 eigen value이다.
따라서 의 Moore–Penrose pseudo-inverse가 가 된다.

Pseudo-inverse의 eigen decomposition. 는 real symmetric이라 spectral decomposition을 갖는다. 이 노트 convention(, 즉 )에서 번째 eigenvector를 (의 번째 행)라 하면:

Symmetric matrix의 pseudo-inverse는 eigenvector는 그대로 두고, nonzero eigenvalue만 역수로 바꾸며, zero eigenvalue는 0으로 남긴다:

즉 와 는 같은 eigenbasis 를 공유하고 spectrum만 ()로 반전된다. Zero mode(center of mass)는 pseudo-inverse에서도 eigenvalue 0으로 kernel에 그대로 남는다.

Per-mode 분산과의 정합성. 의 internal mode() eigenvalue를 읽으면

로, 뒤의 basis에서 구할 per-coordinate 평형 분산 과 정확히 일치한다. Center-of-mass 방향은 eigenvalue 0 — 유한한 평형 분산이 정의되지 않는 free translational mode를 pseudo-inverse가 projection out 한 것이다. 결국 는 internal subspace 위에서만 정의된 degenerate Gaussian의 covariance다.

Projector 해석 — double-centering과의 연결. 와 의 곱은 zero mode를 걷어내는 orthogonal projector가 된다:

(은 uniform center-of-mass eigenvector.) 이 projector 가 곧 classical MDS의 double-centering matrix 다. 따라서 “평형 위치 covariance pseudo-inverse ” 경로는 static structure(pairwise distance)에서 connectivity를 역산하는 MDS / HIPPS-DIMES 절차()와 같은 대수적 골격을 공유한다.

to derivation 연구와 연결

260629 Continuous nu(n)에서 K matrix 유도 (classical MDS)과 비교하면서 진행하자.

첫번째, 로부터

basis

Probability density가 훨 간단해진다.

대각화로 인해서, 각 p-mode가 독립적인 Gaussian distribution을 가진다. 이라는 점을 의식할 것.

각 mode의 평형 분산을 읽으면 (per coordinate ):

Eigrn value의 절댓값이 크면 분산이 작아지는 것을 볼 수 있다.

Static structure → covariance: double-centering (classical MDS)

앞의 는 평형 위치 covariance를 알면 의 spectrum을 얻는다는 뜻이다. 그런데 실험·시뮬레이션에서 직접 측정되는 양은 covariance가 아니라 pairwise mean-square distance (Hi-C, MINFLUX 등)다. 이 둘을 잇는 것이 classical MDS의 double-centering 항등식 이고, 아래에서 한 configuration에 대해 대수적으로 증명한 뒤 ensemble 평균으로 넘긴다.

표기. bead 개, 위치 .

• squared-distance matrix:
• center of mass: , 중심화 위치
• 중심화 Gram matrix:
• centering matrix:

는 (= CoM 방향)을 죽이는 orthogonal projector다:

Step 1 — 분해. . uncentered Gram 와 로 쓰면:

Step 2 — 양옆에 . , 이라 절대 위치 크기 정보 를 담은 rank-1 항이 완전히 소거된다:

Step 3 — . 위치를 행으로 쌓은 행렬 (번째 행 )로 . 의 번째 행이 이므로:

따라서 한 configuration에서 항등식이 성립한다:

Step 4 — Ensemble 평균. 이 항등식은 에 대해 선형이라 평균이 그대로 통과한다:

는 측정 가능한 mean-square distance이고, 는 CoM-subtracted position covariance 다:

가 성분을 죽였기 때문에 lab origin 기준 절대 covariance가 아니라 무게중심 기준 internal covariance만 남는다 — 자유 확산하는 CoM은 stationary variance가 없어 애초에 정의되지 않는데, double-centering이 그 발산 방향을 자동으로 걷어낸다.

차원 인수 bookkeeping

위 는 full dot product(개 좌표 합)라, 이 노트의 per-coordinate covariance 와는 로 배 차이다:

상수 는 spectrum의 모양엔 안 들어오고 시간축 단위만 정하므로, ” 대각화 eigenvalue 역수 ” 경로는 그대로 유효하다.

함의 — static → dynamics. 와 는 같은 eigenbasis를 공유하므로, 측정된 을 double-centering해서 대각화하면 eigenvalue만 역수 취해 의 spectrum , 곧 relaxation spectrum 가 나온다. Segment-averaged MSD는 이 spectrum에만 의존하므로, 정적 pairwise distance만으로 dynamics가 예측된다 — HIPPS-DIMES의 핵심 논리다.

PSD 조건 (Schoenberg)

가 PSD인 것은 이 진짜 Euclidean squared-distance matrix일 때와 동치다(Schoenberg criterion). 상수 exponent homopolymer 는 Hurst 인 fractional Brownian motion이라 에서 자동으로 PSD지만, **scale-dependent **에서는 보장되지 않으니 수치적으로 확인해야 한다.

Dynamics

K-matrix로 일반화한 운동방정식을 유도하자.

Hamiltonian과 gradient

에 대한 gradient를 구하면, 와 양쪽 모두 에 의존하므로 곱미분으로 두 항이 나온다:

의 대칭성()으로 두 합이 같으므로, gradient vector는:

핵심: quadratic form을 미분하면 대칭성 때문에 factor 2가 내려온다. 이 2가 뒤에서 Hamiltonian eigenvalue와 EOM eigenvalue를 구분 짓는다.

Equation of Motion

Overdamped Langevin equation에 대입한다:

(즉 )로 변환한다. EOM에 대입한 뒤 왼쪽에서 를 곱한다:

각 mode가 완전히 분리된다. 이고 (negative semi-definite, 은 center-of-mass zero mode).

Relaxation time

EOM eigenvalue가 이므로, 에서 relaxation time은 (Hamiltonian eigenvalue 기준):

이제 general form의 single-locus MSD를 먼저 구하고, 그다음 linear chain과 circular chain에서 eigen value problem이 어떻게 풀리는지 살펴보자.

MSD of single locus

특정 locus 의 MSD 를 K-matrix framework로 일반화하자. §7 (2.54)에서 linear chain에 대해 구한 것을 임의 connectivity로 확장하는 것이다.

재료. 각 mode는 독립적인 OU process이므로 변위의 통계는 §5의 (2.47)과 동일한 꼴이다:

평형 진폭은 general framework의 per-coordinate 결과 의 3배 (3D vector):

(마지막 등호는 .)

이므로 이고, 변위도 선형 결합이다:

이것을 제곱해서 평균을 취하면 이중합 이 나오는데, 서로 다른 mode는 상관이 없으므로 () cross term이 전부 죽고 대각항만 남는다:

과 를 대입하면 최종 general form:

Zero mode가 CoM diffusion을 자동으로 준다

은 이라 이고, 극한에서 . Center-of-mass eigenvector는 상수 이므로 이 항은

가 되어 식 (2.44)의 무게중심 확산이 그대로 복원된다. 즉 위 general form은 CoM drift와 internal relaxation을 하나의 합에 담고 있다.

Linear chain 확인. 을 넣으면 (, )이고, 항이 , 항이 가 되어 §7의 식 (2.54)와 정확히 일치한다.

Segment-averaged MSD — eigenvalue spectrum만 남는다

single-locus 결과를 모든 locus에 대해 평균 내면 eigenvector 정보가 완전히 사라지고 eigenvalue spectrum 에만 의존하는 식이 나온다. 이것이 §7 (2.55)의 basis-무관 일반화다.

대괄호 = . 은 의 번째 행(= 번째 eigenvector)의 norm²이고, 가 orthonormal이라 모든 행의 norm이 1이다:

즉 eigenvector의 구체적 모양(이든 complex exponential이든, 어떠한 connectivity든)이 평균화에서 씻겨 나간다. 대입하고 zero mode(, )를 분리하면:

저 summation 부분()이 single exponent이기 위한 의 스펙트럼은 무엇인가?

이것은 §7의 식 (2.55)와 정확히 같은 식이다. 유도만 다르다 — §7은 linear chain의 직교성()에 의존했지만, 여기선 basis 무관하게 eigenvector row norm = 1 하나로 끝난다. (linear에서 이니 로 두 논증이 일치.)

Complex basis 주의

circular polymer처럼 가 complex(unitary)면 실변위 MSD라서 대신 을 써야 한다. row norm = 1은 unitary에서도 성립하므로 결론은 그대로다 — 이라 .

Structure → dynamics 함의

segment-averaged MSD는 eigenvalue spectrum 에만 의존하고 eigenvector에는 전혀 의존하지 않는다. connectivity(의 구조)가 로 들어오는 통로는 오직 스펙트럼뿐이다. “어느 loci가 어떻게 연결됐나”의 세부(eigenvector)는 개별 locus MSD에는 남지만, segment 평균에서는 spectral density로 압축돼 사라진다.

Example: Linear chain

Spring constant 를 1/2 factor를 포함해서 정의.

Linear chain의 K-matrix는 은 대각 (양 끝 ), off-diagonal 인 tridiagonal이다.

eigenvector는 :

정규화 주의: 공통 만 붙이면 행은 라 norm로 덜 정규화된다 — 행에 를 더 붙여야 이 진짜 orthogonal이 되고 이 정확히 성립한다.

Eigen value는

위 eigen value와 를 에 대입하면 식 (2.49)가 나온다.

Example: Circular polymer

Ring은 가 아래같이 생겼다. circulant matrix.

eigenvector는 complex exponential이다.

Eigenvalue는:

argument가 (분모에 2 없음) — linear의 과 다르다.

Ring은 의 2-fold degeneracy를 갖는다 () — 4-C의 complex mode degeneracy가 spectrum에도 그대로 나타난다. 는 complex(unitary)이므로 , quadratic form도 로 conjugate transpose를 쓴다 ( 아님). 모든 에서 이라 하나로 전부 unitary가 되어, linear에서 있던 정규화 문제가 없다.

Example: Circular polymer with constant loop

Circular backbone의 모든 loci가 칸 떨어진 상대와 추가로 loop bond를 이루는 경우다. 이것은 🔥MAIN - looped polymer dynamics 연구에서 해석적 검증용 reference system으로 쓰인다 — looped polymer 중 닫힌 형태로 완전히 풀리는 드문 경우이기 때문이다.

K-matrix 구조

Bead 개수 , 모든 index는 으로 순환한다. 각 bead 는 backbone 이웃 과 loop 상대 , 총 4개와 연결되므로 degree가 모든 site에서 균일하게 4다:

Row sum이 0인 Laplacian 조건 이 자동으로 만족된다. 핵심은 이 행렬이 circulant라는 점 — 각 행이 이전 행의 순환 shift이고, 첫 행 하나가 전체를 결정한다:

대각화 — Fourier mode가 항상 eigenvector다

Circulant matrix의 결정적 성질: 행렬의 내용과 무관하게 eigenvector가 discrete Fourier mode로 고정된다. Loop 유무나 값에 관계없이 basis가 circular Rouse chain과 동일하다.

증명은 shift operator의 고유함수 성질 하나로 끝난다. Test vector , 에 를 작용시키면:

를 대입하면 공통인자 가 통째로 빠져나온다:

Euler 항등식 로 정리하면 eigenvalue equation 가 성립하고:

Half-angle 항등식 를 적용한 최종 형태:

결과 해석

두 항의 합 구조. (L7)은 backbone 항과 loop 항의 단순 덧셈이다. 앞 절의 circular Rouse eigenvalue 과 비교하면:

즉 loop은 spectrum에 주기가 배 빠른 두 번째 cosine을 중첩시킨다. 첫 항의 주기는 , 둘째 항의 주기는 으로 훨씬 짧다.

극한 확인. (또는 )이면 둘째 항이 0이 되어 circular Rouse가 정확히 복원된다. 이면 backbone bond가 두 겹이 되어 , 즉 spring constant가 두 배인 Rouse chain과 같다.

Zero mode. 에서 두 항 모두 0이므로 — center-of-mass mode는 connectivity와 무관하게 항상 보존된다.

Degeneracy. 의 대칭성이 두 항 모두에서 성립하므로, circular Rouse와 동일한 2-fold degeneracy 가 유지된다.

Small- 거동. 이면 두 sine 모두 quadratic 근사가 가능해서:

가장 긴 파장 영역에서는 여전히 (Rouse scaling, )이지만 prefactor가 배 증폭된다. Loop이 large-scale relaxation을 만큼 가속시킨다는 뜻이다.

Beating과 겉보기 exponent. 부터는 둘째 항이 quadratic 영역을 벗어나 진동하기 시작하고, spectrum이 순수 power-law가 아니라 **두 주기의 중첩(beating pattern)**이 된다. 이 구간에서 수치적으로 측정되는 local exponent 는 심하게 요동하며, 넓은 구간 평균은 가 아닌 값으로 나타난다 (, 수치실험에서 관측상 ). 이것은 진짜 asymptotic scaling law가 아니라 두 성분의 crossover 평균임에 주의해야 한다.

Aliasing 주의

인 경우(예: ) 과 이 같은 site를 가리켜 bond가 이중으로 계산된다. 이때 (L7)은 loop 항의 계수가 두 배인 형태로 수정되어야 하며, 수치 구현에서도 += 누적 방식이 같은 원소에 두 번 더하는지 확인해야 한다.

Linear chain은 왜 안 풀리는가

같은 loop 구조를 linear backbone에 얹으면 (L3)이 더 이상 eigenvector가 아니다. 두 가지 이유가 있다.

1. Translation invariance 파괴. 양 끝 근방( 또는 )에서 loop 상대가 존재하지 않아 bond가 잘려나간다. 대각항이 가 아니라 또는 로 site마다 달라지고, 행렬이 circulant가 아니게 되어 (L4)의 인수분해가 성립하지 않는다.
2. Band 구조. 과 두 개의 off-diagonal band를 갖는다. 순수 tridiagonal()이면 Chebyshev 계열로 풀리지만, 번째 band가 추가되면 일반적으로 닫힌 형태의 해가 없다.

따라서 해석적 검증은 circular 버전으로 수행하고, linear의 bulk 성질은 조건에서 circular 결과로 근사하는 것이 표준적인 접근이다.

Numerical validation

(L7)을 numerical diagonalization과 직접 비교할 수 있다.

def analytic_eigenvalues_circular_loop(N, k, m):
    """식 (L7): circular polymer with constant loop의 해석적 eigenvalue"""
    n = N + 1
    p = np.arange(n)
    return -4 * k * (np.sin(p * np.pi / n)**2 + np.sin(p * m * np.pi / n)**2)
 
K = build_K_circular_constant_loop(N, k, m)
lam_num, _ = diagonalize(K)
lam_ana = analytic_eigenvalues_circular_loop(N, k, m)
assert np.allclose(np.sort(lam_num), np.sort(lam_ana))

MSD와의 연결

Eigenvector가 모든 site에서 로 균일하므로 single-locus MSD가 locus 위치에 무관하다 (circular 대칭성). 따라서 single-locus MSD와 segment-averaged MSD가 일치하고, 앞 절의 결과가 그대로 적용된다:

에 (L7)을 대입하면 loop이 MSD에 미치는 영향이 완전히 결정된다. Spectrum이 를 따르는 구간에서 MSD exponent는 관계를 만족하므로, small-의 구간은 (Rouse), beating 구간의 겉보기 은 (plateau, loop에 의한 caging)에 대응한다.

Questions & Insights

• (Rouse Model 노트에서 이어진 열린 질문) segment-averaged MSD의 summation 이 single exponential이 되기 위한 스펙트럼은 무엇인가?

Related Concepts

• Rouse Model
• Polymer Models
• MSD exponent from scale-dependent Flory exponent
• 📑 Journal reading - Static three-dimensional structures determine fast dynamics between distal loci pairs in interphase chromosomes

References

• J.T. Padding, Theory of Polymer Dynamics, Chapter 2: The Rouse Model
• [[[Padding] THEORY OF POLYMER DYNAMICS-part-2.pdf]]

Notes from Claude

이 노트는 Rouse Model 노트가 길어져 K-matrix 일반화 부분(GNM / HIPPS-DIMES convention)을 2026-07-10에 독립 노트로 분리한 것이다. 본문은 원본에서 손실 없이 verbatim으로 이식했으며(원본의 사소한 표기/오타도 그대로 보존), 본문 내 §5·§7 및 식 (2.44)/(2.47)/(2.54)/(2.55) 등의 상호참조는 Rouse Model의 Part 1을 가리킨다. 필요하면 이 상호참조들을 명시적 링크로 바꾸는 후속 작업을 할 수 있다.