스라소니 머릿속에는

Rouse Model

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Rouse Model

Overview

Rouse model은 가장 기본적인 동적 polymer 모델로, 개의 bead가 개의 entropic spring으로 연결된 Gaussian chain에 overdamped Langevin dynamics를 부여한 것이다. Hydrodynamic interaction을 무시하기 때문에 melt 조건(다른 chain에 둘러싸여 solvent flow가 가려지는 상황)에 적합하다.

이 노트는 J.T. Padding, Theory of Polymer Dynamics Chapter 2를 기반으로, friction의 미시적 기원부터 normal mode 분리, MSD의 세 가지 시간 영역, end-to-end vector correlation, 그리고 stress tensor를 통한 viscosity 계산까지 전체 유도 과정을 정리한다.

Polymer Models 노트의 “Rouse Model” 섹션이 결과 위주의 압축된 요약이라면, 이 노트는 그 결과들이 어떻게 나오는지 — 특히 경계조건이 normal mode quantization을 어떻게 강제하는지, fluctuation-dissipation theorem이 어디서 나오는지를 자세히 다룬다.

Key Points

공통 기호 (이 노트 내 표기)

기호의미
bead의 friction coefficient
friction frequency (mass로 나눈 것)
Kuhn length (bond length)
entropic spring constant (3차원)
단일 bead의 diffusion coefficient
번째 bead의 위치,
번째 Rouse normal mode,
번째 모드의 relaxation time
Rouse time (가장 느린 모드의 완화시간)
shear relaxation modulus
shear viscosity

1. Friction과 Random Force의 기원

단일 spherical bead (반지름 )가 solvent 속에서 받는 힘은 두 가지다 — 속도에 비례하는 systematic friction과, 분자 충돌에서 오는 random force :

여기서 (Stokes friction, 는 solvent viscosity).

식 (2.2)를 적분해서 식 (2.4)와 같은 형태의 해를 얻는 일반적인 방법은 Integrating Factor Method에 따로 정리했다.

초기 속도가 의 relaxation time으로 감쇠, 그리고 힘은 exponent한 가중치로 쌓인다.

가 random force이므로, 이것의 평균적인 property를 정의. 평균적으로 힘은 0이어야 하고, 위에 적분 식이 적혀져 있으므로 힘의 time correlation도 고려해야 한다. 랜덤한 힘이므로 delta correlation을 가져야 한다.

의 평균 property는 다음 두 가지로 가정된다 (식 2.4를 이용해 를 구하려면 이 가정이 필요하다):

여기서 는 (아직 미정인) 상수이며, 초기 속도 에 의존할 수도 있다는 표기다. 가 등장하는 이유는 “랜덤하다”는 가정의 가장 단순한 구현 — 서로 다른 시각의 충돌은 완전히 독립(uncorrelated)이라는 뜻이다. 식 (2.6)의 가 정확히 무엇인지는 아직 모르는 상태이고, 이를 equipartition theorem으로 결정하는 것이 바로 다음 단계(식 2.9)다.

식 (2.4)에 식 (2.5)-(2.6)을 적용해서 속도의 평균과 분산을 구해보자.

평균 (식 2.7): 식 (2.4)의 양변에 평균을 취하면, 적분 안의 (식 2.5)이므로 적분항이 사라진다:

즉 평균 속도는 그냥 초기 속도가 friction에 의해해 지수적으로 감쇄하는 모습이다 — 당연한 결과지만, random force가 평균적으로 어떤 방향으로도 치우치지 않는다는 가정(식 2.5)이 정확히 이 결과를 만든다.

분산 (식 2.8): 를 구하려면 식 (2.4)를 자기 자신과 내적해야 한다. 세 항이 나온다 — 항끼리의 곱, 와 적분항의 교차곱(cross term), 그리고 적분항끼리의 곱:

가운뎃 항(cross term)은 다시 식 (2.5) 때문에 0이 된다. 마지막 항은 식 (2.6)의 delta correlation을 대입하면, 가 이중적분 중 하나를 “잡아먹어서” 단일적분으로 줄어든다:

따라서:

이 결과가 핵심적인 다음 단계로 이어진다: 일 때 식 (2.8)은 로 수렴해야 하는데, equipartition theorem은 이 극한값이 정확히 이어야 한다고 요구한다.( , 따라서 ) 이 조건이 미지수 를 결정해주고, 그 결과가 바로 식 (2.9)다.

이것이 fluctuation-dissipation theorem의 한 형태다 — friction이라는 systematic(dissipative)한 효과와 random force의 통계적 크기가 독립적이지 않고, 같은 열적 origin에서 묶여 나온다. 이 관계가 없으면 bead는 평형 온도에 도달하지 못한다.

식 (2.4)에다가 지금까지 구한 식을 넣고 적분하면 MSD를 구할 수 있다.

3차원에서 라는 것으로부터 Einstein relation이 나온다:

마지막 항 이 diffusion coefficient라는 것은 Einstein relation이다.

2. Overdamped 극한과 Smoluchowski 영역

Bead가 초기 속도의 “기억”을 잃는 시간 동안 이동하는 거리는 bead 지름에 비해 극히 작다 (나노미터 크기 bead: , 식 2.14). 즉 속도 자유도가 거의 즉시 평형화되므로, 우리가 관심 있는 시간척도(configuration이 바뀌는 시간척도)에서는 속도를 적분해서 없애고 위치만 추적할 수 있다.

이렇게 얻는 것이 overdamped Langevin equation, 관성항이 없다. :

이 식의 세 항은 각각 다음을 의미한다:

  • (potential drift): 외부 포텐셜 가 만드는 힘에 의한 drift. 를 friction 로 나눌 것. overdamped이기에, 보존력과 속도가 비례한다. Rouse chain에서는 가 이웃 bead들과의 spring potential이다 — 즉 이 항이 식 (2.19)의 우항을 만든다.

  • (diffusivity gradient drift): diffusion coefficient 가 위치에 따라 다른 값을 가질 경우 추가되는 항. 가 일정한 경우 이 항은 0이 되어 사라진다. 이 항을 유도하는 법을 Appendix B에서 다룬다. “diffusivity가 공간적으로 다르다도 입자의 평형 분포가 Boltzmann 분포(식 B.2)를 따르도록” 보정해주는 항이다. 이 보정항이 없다면 diffusivity가 낮은 지역에 입자가 모일 것이다.

  • (random force): 식 (2.5)-(2.6)에서 본 random force와 같은 역학이지만, 이제는 힘이 아니라 속도에 random drift가 더해지는 overdamped 버전이다. 평균 0, delta-correlated (식 2.17).

세 항의 구조(structure)

식 (2.15)는 결국 “deterministic drift (2가지: potential과 diffusivity gradient) + stochastic noise”라고 설명하는 일반적인 overdamped Langevin 방정식의 형태를 띈 다. Rouse chain에선 가 일정하다고 가정하므로 항은 사라지고, 실질적으로 의 단순한 형태로 쓰인다.

이 식이 Smoluchowski equation(probability density의 시간 발전, Smoluchowski Equation 참고)을 유도하는 출발점이다.

3. Rouse Chain의 Langevin 방정식

개 bead, 개 spring ()으로 이루어진 chain에서 내부 bead의 운동방정식

전체 potential energy 을 으로 미분한 게 아래 식(2.19) 에서 이다.

양 끝 bead ()는 한쪽 이웃만 있어서 식이 다르다 (식 2.18, 2.20).
이 경계조건의 비대칭성이 다음 단계인 normal mode 분리에서 mode의 quantization 조건을 결정한다.

3-C. Rouse Chain의 Langevin 방정식 - Circular polymer

만약 양 끝, 0번째와 N번째 bead가 연결된 고리 형태의 polymer라면,

식 2.19는 동일하다.

4. Normal Mode 분리 — 경계조건이 만드는 양자화

개의 결합된 stochastic differential equation을 풀기 위해, ansatz

를 대입한다.

식(2.18)부터 (2.20)까지 순서대로

내부 bead의 방정식 (2.25)이 양 끝 (2.24)와 (2.26)에도 동일한 형태로 적용되기 위해서는, 에 와 을 대입한 것이 와 랑 같아야 한다. 이 조건은 아래와 같다.

이 조건에서 다음의 quantized 값들이 나온다:

Quantization을 대입하면 ansatz는

핵심 통찰: Free end 경계조건(양 끝이 한쪽 이웃만 갖는다는 사실)이 정확히 개의 독립적인 cosine mode를 허용한다. 이는 고전적인 “고정된 끝(fixed boundary)“의 normal mode(사인 함수, 형태)와 다른 quantization이다 — Rouse chain의 양 끝이 자유롭기 때문에 코사인 형태가 나온다.
생각해보기: 왜 의 최댓값이 인 것인가? 을 대입하는 순간 무슨 일이 일어나는가?

전체 해는 이 mode들의 선형결합. 방금 식에서 정규화 상수 를 잘 결정한다.
왜 이런지 자세한 내용은 아래 diagonalization에서 다룬다.

역변환:

Random force도 변환해 준다.

이 변환으로 원래 결합된 방정식들이 완전히 분리(decouple) 된다. 에 대한 방정식(2.25)을 풀면 된다.

모드()는 무게중심(center of mass) 그 자체이며, 다른 모든 모드()는 무게중심을 고정한 채 일어나는 독립적인 진동(vibration)이다. 모드 는 개 세그먼트로 이루어진 subchain의 진폭에 대응한다.

4-C. Normal Mode 분리 — Circular polymer

위가 방정식 2.25와 동일하게 적용되기 위해서는, , 각각이 에다가 에 각각 0과 을 대입한 것과 같은 결과여야 한다. 이 조건은 아래와 같다.

여기서 결정적인 관찰: 가 어떤 값이든 위 두 조건이 만족된다. 이건 우연이 아니라 ring의 구조적 특징이다 — periodic system은 monomer index에 대한 회전 대칭()을 가지므로 cosine의 phase가 물리적으로 고정되지 않는다. 그 결과, 인 각 wavenumber마다 과 이 같은 eigenvalue를 갖는 두 개의 독립 mode가 된다 (2-fold degeneracy). Linear chain에서 로 phase가 고정되어 mode가 non-degenerate였던 것과 결정적으로 다른 점이다.

주기 조건 으로부터 wavenumber가 quantize된다:

Cosine만으로는 basis가 불완전하다

Degeneracy 때문에 ring의 완전한 mode 전개는 과 을 둘 다 포함해야 한다. 만 쓰면 (1) mode가 통째로 빠져 임의의 configuration을 표현할 수 없고 (incomplete), (2) 은 와 가 같은 함수라 을 모두 합하면 같은 cosine을 두 번 세게 된다 (redundant). 따라서 아래처럼 complex exponential을 쓰는 것이 가장 깔끔하다.

Complex exponential 전개. 의 자유도(= degeneracy)를 자연스럽게 담기 위해 complex Fourier basis를 쓴다:

역변환:

이 실수이므로 mode는 reality condition 를 만족한다 — 즉 와 가 서로 켤레인 degenerate pair를 이룬다. 은 여전히 center of mass ()다.

Eigenvalue. 을 interior 방정식(2.19)에 넣으면 이다. Ring에서는 이 관계가 boundary bead를 포함한 모든 bead에 예외 없이 성립하므로 (matching condition 자동 충족), mode 방정식은:

Linear chain의 과 비교하면 argument가 정확히 2배다. 작은 에서 가 되어, 같은 길이의 ring이 linear chain보다 4배 빠르게 완화된다는 잘 알려진 결과가 나온다.

Noise. Random force도 같은 complex basis로 변환한다:

Real-space FDT 를 대입하고 를 쓰면:

5. Relaxation Time과 평형 진폭

다시 linear polymer로 돌아온다.

는 center of mass와 비례함을 알 수 있다.

는 polymer전체에 가해진 합력과 비례한다는 점은 자명하다.

이를 통해 polymer 전체, center of mass의 diffusion coefficient를 알 수 있다.
일 때 미분방정식 (2.38)을 풀면,

단순히 합력을 적분한 뻔한 결과이다. MSD를 구하면

COM의 diffusivity는 monomer diffusivity를 monomer 갯수만큼 나눈 것이란 걸 알 수 있다.

아래 식(2.45)를 식 (2.38) 과 비교하면 의 relaxation time 을 구할 수 있다.

(근사는 일 때 유효하다.) 가장 느린 모드 의 완화시간이 Rouse time 이다.

모드의 시간 상관함수 (식 2.47)

식 (2.45)는 자체의 시간 전개를 주지만, 우리가 실제로 자주 쓰는 양은 — 즉 시간에 따라 이 모드가 자신의 초기값과 얼마나 닮아있는지를 나타내는 autocorrelation function 이다. 식 (2.45)의 양변에 를 내적하고 ensemble average를 취하면:

적분 안의 는 0이다 — 시점의 random force는 에 이미 정해져 있던 와 인과적으로 상관이 없기 때문이다. 따라서 적분항이 사라지고:

여기서 는 모드의 equilibrium variance, 에서의 자기 자신과의 상관, 즉 그냥 그 모드의 “전형적인 크기”다. 식 (2.47)이 말하는 바는 단순하다: 모드 가 초기값을 “기억하는” 정도가 시간이 지나면서 로 감쇄한다는 것. 가 작을수록(빠른 모드, 큰 ) 기억을 빨리 잃고, 가 클수록(느린 모드, 작은 ) 오래 기억한다.

Boltzmann Weight의 좌표 변환 — 평형 진폭이 나오는 근거 (식 2.48-2.49)

진폭 은 동역학과 무관한 순수 평형 통계량이다 — 즉 시간을 전혀 포함하지 않고, Gaussian chain이 열평형 상태에서 어떤 모양을 하고 있는지에만 의존한다. 이를 구하려면 동역학 방정식이 아니라 평형 분포(Boltzmann distribution) 로 돌아가야 한다.

Cartesian 좌표에서 Rouse chain의 configuration 확률은, entropic spring 에너지 에 대한 Boltzmann factor다:

이 분포를 그대로는 다루기 어렵다 — 지수 안의 합이 이웃한 들을 서로 얽어매고 있어서, 개의 좌표가 독립이 아니다. 그런데 식 (2.35)-(2.37)의 변환(Rouse mode로 옮기는 것)은 선형(linear)이고 직교(orthogonal) 변환이다. 지수 안의 이차형식(quadratic form)만 Rouse 좌표로 바꿔서 다시 쓰면 그대로 새로운 분포가 된다:

Variance는 에 비례한다. 가 클 수록 variance가 작아지고 0에 분포가 집중된다.

6. End-to-End Vector의 시간 상관함수

은 홀수 모드만으로 표현된다 (짝수 모드는 대칭성에 의해 상쇄):

(prime은 홀수 만 합산을 의미.) 이 식은 실제 polyethylene melt의 MD 시뮬레이션 결과(Padding & Briels 2001, Fig. 2.2)와 entanglement 길이 이하에서 잘 맞는다.

7. Segmental MSD — 세 가지 시간 영역 → 중요

개별 세그먼트의 MSD를 Rouse mode로 분해 (식 2.54)

지금까지는 무게중심( 모드)의 MSD(식 2.44)와 각 모드의 자기상관함수(식 2.47)를 따로 구했다. 이제 이걸 합쳐서 특정 세그먼트 하나의 실제 위치 가 시간에 따라 얼마나 움직이는지를 구해보자. 식 (2.35)의 역변환을 이용하면 은 각 모드의 변위를 가중치로 합한 것이다. 다른 모드들끼리는 서로 상관이 없다는 사실(식 2.41의 )을 쓰면, MSD도 교차항 없이 각 모드의 기여를 그냥 더한 형태로 쓸 수 있다:

구조를 풀어보면:

  • 첫 항 은 식 (2.44)에서 이미 구한 무게중심의 MSD, 즉 — 세그먼트가 어디에 있든 공통으로 겪는 “사슬 전체의 이동”.
  • 는 식 (2.47)에서 구한 자기상관함수를 펼치면 바로 얻어진다: (평형상태라 — general framework의 per-coordinate 의 3배).

모든 세그먼트에 대한 평균 — 가 사라지는 이유 (식 2.55)

식 (2.54)는 특정 세그먼트 하나에 대한 결과라 에 따라 다른 값을 준다(사슬 가운데 세그먼트와 끝 세그먼트는 다르게 움직인다). “평균적인 세그먼트”의 거동을 보려면 에 대해 평균을 낸다:

이 평균을 식 (2.54)에 대입하면, 에 대한 합이 항에만 걸린다. 직교성 관계식 (2.36)의 변형을 쓰면 (단 ) — 즉 세그먼트 전체에 평균을 내면 어느 모드든 가중치가 똑같이 로 평탄해진다. 마디/배의 위치 의존성이 평균화 과정에서 정확히 지워지는 것이다. 이 사실을 대입하면 바로 식 (2.55)가 나온다:

(a) (Rouse time보다 긴 시간):

모든 모드에서 이므로 합 전체가 라는 상수로 포화되고, 시간에 따라 자라는 항은 첫 항뿐이다.
→ . 정상 확산, 사슬 전체가 분자처럼 움직인다.

(b) , (중간 시간) — 적분 근사의 4단계 (식 2.57 유도):

이 구간에서는 항이 무시할 만큼 작고(식 2.44에서 이라 매우 느림), 합 이 지배적이다. 이면 값이 매우 빽빽하게 분포하므로, 합을 적분으로 바꿀 수 있다. Padding은 이 적분을 4단계로 변환한다:

1단계 — 합을 적분으로, 와 를 큰- 근사식(식 2.46, 2.50)으로 치환:

,

(계수 은 식 (2.55)의 에 와 를 대입한 결과다. 평형 진폭으로 쓰면 에 를 넣은 것과 같다.)

2단계 — 를 시간 적분으로 다시 쓰기: 임의의 에 대해 라는 사실(또는 동등하게 를 적분)을 이용해 을 에 대한 적분으로 바꾼다:

이 단계의 핵심은 이 정확히 지워진다는 것 — 적분 가능성을 막던 근처의 발산이 이렇게 사라진다.

3단계 — 가우시안 적분 (Wolfram Alpha로 검산 가능): 안쪽 적분은 표준 가우시안 적분이다:

(일반식 에 을 대입한 결과.)

4단계 — 남은 적분, 의 등장:

가 바로 이 유도 전체에서 가 나오는 유일한 지점이다. 마지막으로 식 (2.46)의 를 대입해서 과 안의 가 약분되면, 에 대한 의존성이 완전히 사라지고:

이상확산(subdiffusion) 지수 가 등장. 이 유도 중간에는 명시적으로 있었지만 의 의존성과 정확히 상쇄되어 최종식에서 사라졌다는 점이 중요하다 — 사슬이 충분히 길면 이 영역은 chain length를 “보지 못한다”.

적분 변환의 핵심 아이디어 한 줄 요약

합 → 적분 (연속체 근사) → 를 적분형으로 전환 (발산 제거) → 가우시안 적분 (표준 공식) → 남은 시간적분에서 출현. 이 패턴은 “완화시간이 연속 스펙트럼으로 퍼진 시스템에서 짧은 시간 거동을 구하는” 거의 모든 상황(stress relaxation의 Problem 2-2, β-polymer 일반화)에서 재사용된다.

(c) (아주 짧은 시간):

첫 항이 다시 이지만, 이 영역은 개별 bead들이 서로 거의 독립으로 움직이는 ballistic-to-diffusive 초기 영역과 맞물린다.

의 기하학적 origin

이 멱법칙은 외부 매질의 점탄성이나 fractional Gaussian noise 같은 별도의 메커니즘 없이, 순수하게 완화시간 스펙트럼이 로 연속적으로 퍼져 있다는 사실에서 나온다. 어느 시점에 측정하든 “아직 완화되지 않은 모드들의 연속체”가 있고, 그 누적합이 정확히 를 만든다. Polymer Models의 β-polymer 일반화()에서 가 나오는 것도 똑같은 메커니즘의 연장이다 — mode density 모양만 바뀐 것.

8. Coarse-graining scaling — subpolymer 크기 선택의 자유도

출처: Yuan et al., Phys. Rev. E 109, 044502 (2024), Sec. II E → 📑 Journal reading - Effect of loops on the mean-square displacement of Rouse-model chromatin

Rouse model에서 bead 하나는 물리적 실체가 아니라 subpolymer의 무게중심이다. 따라서 “몇 개의 bead로 자를 것인가”(의 선택)에는 상당한 자의성(laxity)이 있다. 그런데 이 자의성이 무해하려면, 서로 다른 coarse-graining 수준이 같은 물리를 예측해야 한다. 이 정합성 조건이 parameter들의 scaling을 완전히 결정한다.

Scaling 규칙

Subpolymer의 크기를 factor 만큼 크게 잡으면 (bead 하나가 배 많은 monomer를 품게 하면):

양변환이유
Bead 수전체 contour 길이는 불변
Spring constant이고 Gaussian subchain이라
Friction coefficientFriction은 monomer 수에 대해 additive (Rouse는 HI를 무시하므로 정확히 선형)
Polymer time
Amplitude (불변)아래 참조

의 불변성이 핵심이다

Early-time MSD의 amplitude는

인데, 로 곱이 불변이다. 따라서 도 불변이다.

이것은 우연이 아니라 요구조건이다. 는 실험에서 직접 측정되는 physical observable(gene locus MSD의 amplitude)이므로, chromatin을 10 kb 단위로 자르든 100 kb 단위로 자르든 같은 값이 나와야만 한다. 와 는 각각 독립적으로 유도된 결과인데, 그 곱이 불변이라는 사실이 coarse-graining 절차의 자기정합성(self-consistency) 을 보증한다.

§7의 결과와 일치하는가?

이 노트 §7의 식 (2.57)은 였다. Padding 표기에서 이므로 , 즉 amplitude . Yuan et al.의 와 정확히 같은 조합이다. 표기가 다른 두 유도가 같은 invariant를 지목한다.

반대로 는 불변이 아니다. 하지만 이것도 문제가 되지 않는다. MSD를

로 쓰면 이므로, 의 증가는 의 감소와 결합해 다시 불변으로 귀결된다. 는 관측량이 아니라 model-internal한 시계 단위일 뿐이다.

실전: chromatin parameter 정하기 (Yuan et al.)

이 scaling 덕분에 coarse-graining 수준을 먼저 자유롭게 고르고, 그다음 실험값으로 parameter를 고정할 수 있다.

  1. 6 Mb 영역을 bead로 → subpolymer kb로 선택.
  2. Spring constant는 Kuhn length 와 base-pair 밀도 로부터:
  1. Friction은 실험에서 측정된 를 역이용해 결정 (의 정의를 에 대해 푼 것):

, , ()를 넣으면 , , .

왜 이게 우리 연구에 중요한가

SBS simulation이나 K-matrix 접근에서 “monomer 하나가 몇 kb인가”를 바꿀 때, 이 scaling이 어떤 양을 다시 fit해야 하고 어떤 양은 건드리면 안 되는지를 알려준다. (mobility prefactor)는 -계열의 불변량이므로 coarse-graining 수준에 의존해선 안 되고, 는 애초에 dimensionless exponent라 당연히 불변이다. 즉 coarse-graining은 도 도 바꾸지 않아야 한다 — simulation의 sanity check로 쓸 수 있는 조건이다.

단, 위 scaling은 Gaussian subchain(, 즉 )을 가정한다. 이면 이므로 가 되고, 는 더 이상 불변이 아니다. 즉 non-Gaussian polymer에서는 의 coarse-graining invariance가 깨진다 — framework에서 반드시 짚고 넘어가야 할 지점.

일반화: K-matrix Diagonalization (GNM / HIPPS-DIMES convention)

독립 노트로 분리됨 (2026-07-10)

이 섹션의 전체 내용(General framework · Probability density · Dynamics(EOM) · Relaxation time · MSD of single locus · Segment-averaged MSD · Linear/Circular chain 예시)은 K-matrix Diagonalization (Generalized Rouse Model) 노트로 옮겨졌다.

Questions & Insights

  • 현재까지 기록된 질문 없음 — 학습 중 궁금한 점이 생기면 이곳에 추가.

References

  • J.T. Padding, Theory of Polymer Dynamics, Chapter 2: The Rouse Model
  • [[[Padding] THEORY OF POLYMER DYNAMICS-part-2.pdf]]
  • Polymer Models (Rouse Model 섹션, Amitai & Holcman 2017 기반 요약)
  • J.T. Padding and W.J. Briels, J. Chem. Phys. 114, 8685 (2001) — MD 시뮬레이션 비교 데이터 (Fig. 2.2, 2.3)
  • Yuan, Yan, Bailey, Williams, Surovtsev, King & Mochrie, Phys. Rev. E 109, 044502 (2024) — coarse-graining scaling (§8)

Notes from Claude

이 노트는 Polymer Models의 “Rouse Model” 섹션(Amitai & Holcman 리뷰 기반 요약)과 별도로, Padding 교재의 전체 유도 과정을 자세히 풀어둔 독립 노트다. 두 노트의 표기법이 다른 점 주의:

Padding (이 노트)Polymer Models 노트
friction
spring constant (3차원 고정) (일반 차원)
bead 수 () ()
가장 느린 모드

핵심적으로 새로 추가된 내용은 (1) fluctuation-dissipation theorem이 어디서 나오는지의 미시적 유도, (2) free-end 경계조건이 normal mode의 quantization을 어떻게 결정하는지, (3) stress tensor를 통한 viscosity 계산과 그 완화시간이 MSD의 완화시간과 다르다는 점이다.

그래프 뷰

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