스라소니 머릿속에는

Smoluchowski Equation

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Smoluchowski Equation

Overview

Smoluchowski equation은 diffusion equation을 외부 force가 존재하는 경우로 확장한 방정식이다. Brownian particle이 potential 하에서 momentum relaxation time 보다 훨씬 긴 시간 스케일 ()에서 보이는 overdamped dynamics를 기술하며, diffusive flux와 convective(drift) flux를 합친 continuity equation으로부터 유도된다.

Symbol Table

SymbolMeaning
Number density of Brownian particles
Diffusion constant
External potential,
Friction coefficient
Drift velocity
Particle flux
Momentum relaxation time

Key Points

1. 출발점: Force가 있는 diffusion equation

Smoluchowski equation은 식 (13.3) diffusion equation을 외부 potential 이 존재하는 경우로 일반화한 것이다:

2. Overdamped 극한과 drift velocity

유도의 핵심은 momentum Langevin equation. 는 평균적인 속도. 도 평균적인 힘/

에서 시작한다. 인 시간 스케일에서는 관성항(LHS)이 무시되므로, friction force와 external force가 균형을 이룬다:

3. Flux: diffusive + convective

입자 flux는 두 항의 합이다:

첫 항은 농도 기울기를 따라가는 diffusive current, 둘째 항은 force를 따라가는 convective (drift) current이다.

4. 평형 조건에서 Einstein relation 유도

평형 상태에서는 두 흐름이 정확히 상쇄되어 :

평형통계역학에 의해 이어야 하므로, 이를 대입하면

이 얻어진다. 이것이 fluctuation()과 dissipation()을 연결하는 Einstein relation이다.

5. 최종 형태

Flux를 다시 쓰면

이를 continuity equation 에 대입하면 Smoluchowski equation (식 1)이 얻어진다. 이 방정식은 인 시간에 대해서만 유효하다.

6. Stokes-Einstein relation

구형 입자(radius )에 대해 Stokes formula 를 대입하면

Perrin이 이 관계로부터 Boltzmann constant와 분자 크기를 추정하여 원자의 실재를 입증한 역사적 의미를 가진다.

7. 생물학적 응용

  • Cell capture: steady state ()에서 absorbing boundary condition을 적용해 diffusion current 를 구함.
  • Ionic diffusion through membrane: 평형 조건 에서 Nernst potential 이 유도됨.

Questions & Insights

References

Notes from Claude

  • Smoluchowski equation의 핵심은 “diffusive flux와 convective flux가 평형에서 정확히 상쇄된다”는 조건으로부터 Einstein relation이 자연스럽게 도출된다는 점이다. 이는 fluctuation-dissipation theorem의 가장 단순한 형태 중 하나이다.
  • 교재의 식 (13.12)는 다소 압축된 표기로 등장하므로, 실제 유도 과정 (13.13)~(13.21)을 따라가야 물리적 의미가 명확해진다.

그래프 뷰

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