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Ornstein-Uhlenbeck Process

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Ornstein-Uhlenbeck Process

Overview

시간 미분 항, 선형 항, 그리고 Gaussian white noise

Ornstein-Uhlenbeck (OU) process는 mean-reverting stochastic process이다. 조화 포텐셜 하에서 overdamped Brownian motion에 해당하며, 노이즈가 있음에도 불구하고 평균 위치로 돌아오려는 경향을 가진다. Velocity Langevin equation도 같은 수학적 구조를 가지므로 OU process에 속한다.

Symbol Table

SymbolMeaning
Position (or velocity in velocity OU)
Friction coefficient
Spring constant
Relaxation time
Gaussian white noise
Noise strength
Momentum relaxation time

Key Points

두 가지 형태

Velocity OU process (식 13.64, F=0 경우) 이것은 Brownian particle의 Langevin equation:

식 전체에 평균을 취하면 ,
간단한 미방을 풀면

가 평균 0으로 회귀하며, relaxation time은 이다.

Position OU process (식 13.107, overdamped + harmonic):

가 평균 0으로 회귀하며, relaxation time은 이다.

두 방정식은 수학적으로 동일한 구조를 가지므로, velocity OU의 결과를 치환하여 position OU에 적용할 수 있다 (, , ).

Probability Distribution (식 13.108)

초기 위치 에서 시작한 OU process의 확률 분포:

  • 평균: → 시간이 지남에 따라 0으로 수렴
  • 분산: → (equilibrium)

장시간 극한 (Equilibrium, 식 13.91)

:

이는 harmonic oscillator의 equilibrium Boltzmann 분포와 일치하며, equipartition theorem 를 만족한다.

Velocity Correlation Function (식 13.76)

평형 상태()에서 velocity OU process의 time correlation function:

Stationarity: 에는 무관하고 오직 에만 의존한다. 이는 equilibrium time correlation function의 핵심 성질이다.

Wiener Process와의 관계

(restoring force 없음) 극한에서 OU process는 Wiener process (pure diffusion)로 환원된다 (식 13.103, 104):

OU process는 Wiener process에 mean-reversion이 추가된 형태이다.

Noise와 Dissipation의 관계 (Fluctuation-Dissipation)

Random force의 크기 는 friction coefficient와 온도로 결정된다 (식 13.75):

이것이 성립해야만 장시간에 equilibrium에 도달한다.

Questions & Insights

  • Stationarity: 평형 극한에서 항이 소멸하며 correlation function이 에만 의존하게 된다 (식 13.73 → 13.76 전환 과정).
  • OU process에서도 position 는 여전히 stochastic하게 변화한다. Overdamped limit은 가속도가 0이라는 게 아니라, 관성 항이 무시 가능한 시간 스케일()에서의 근사이다.
  • 가 와 linearly related되어 있으므로 Gaussian distribution을 가진다 (CLT).

References

Notes from Claude

  • Velocity OU (식 13.64)와 Position OU (식 13.107)는 수학적으로 동일한 구조이므로, 결과를 변수 치환을 통해 공유할 수 있다.
  • Stationarity는 평형 time correlation function의 핵심 성질로, 절대 시간(t+t’)이 아닌 상대 시간(t-t’)에만 의존함을 의미한다.
  • OU process는 지그재그 운동을 계속하면서도 평균적으로 restoring force에 의해 원점으로 되돌아오는 구조를 가진다.
  • Wiener process와 달리, OU process는 장시간에 발산하지 않고 equilibrium 분포에 수렴한다.

그래프 뷰

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