Brownian Motion Properties

Notation 정리

기호	의미
	시점 에서의 브라운 운동의 위치 좌표(는 입자, 혹은 시행)
	차원 브라운 운동의 번째 성분 (좌표)
	브라운 운동이 생성하는 시점 까지의 sigma-algebra
	시작점 에서 출발하는 브라운 운동의 확률측도
	시작점 에 대한 기댓값
	전이확률밀도함수
	시간 구간 에서의 증분, 위치의 변화량

브라운 운동의 정의

브라운 운동 는 다음 조건들을 만족하는 확률과정입니다:

1. 연속성 (Continuity)

해설: 브라운 운동하는 입자의 시간에 따른 위치 변화가 연속 함수일 확률이 항상 1이다.

2. 독립증분 (Independent Increments)

이 서로 독립입니다 (단, ).

직관적 의미:

• 서로 다른 시간 구간에서의 위치 변화량은 완전히 독립
• 과거의 움직임이 미래의 움직임에 영향을 주지 않음
• “기억 없는” 무작위 보행
• 매 시점마다 어디로 이동할 지는 아무도 몰라

3. 정규증분 (Gaussian/Normal Increments)

모든 에 대해:

즉, 증분이 평균 0, 분산 (t-s)인 정규분포를 따릅니다.
이것은 central limit theorem 의 결과다

4. 시작점을 원점으로 둔다

모든 시행은 같은 위치에서 시작한다.

독립증분 성질의 구체적 의미

수학적 표현

인 임의의 에 대해:

의미: 현재까지의 정보를 알아도, 미래 증분의 분포는 변하지 않음

구체적 예시들

예시 1: 조건부 기댓값

예시 2: 미래 증분의 독립성

• 현재까지 “오르막길”이었어도
• 다음 증분 는 여전히
• 과거 패턴과 무관

예시 3: 조건부 분산

가우시안 과정 (Gaussian Process) 성질

유한차원 분포

모든 에 대해:

는 다변량 정규분포를 따릅니다.

평균과 공분산

• 평균: (시작점이 0인 경우)
• 공분산: for

증명:

(when , 독립증분 성질 사용)
아래 문서에서 풀이랑 연결되는 거 같다.
Radius of Gyration of Gaussian Chain

브라운 운동의 중요한 성질들

1. 마팅게일 성질

증명: 독립증분을 이용하여

2. 이차변분 (Quadratic Variation)

의미: (Itô 공식의 기초)

3. 스케일링 성질 (Scaling Property)

에 대해:

도 브라운 운동입니다.

공간 축과 시간 축을 scaling 했다.
시간이 c대 더 흐르면 위치 분포의 분산은 c배로 증가, 표준편차 배가 된다.
그래서 위치 값을 로 나눈 것이다.

4. 시간 역전 성질

에 대해:

도 브라운 운동입니다.

전이확률밀도와 확률측도

전이확률밀도 → 여기 자세히 읽어봐야지지

의미: 시점 0에서 에 있던 입자가 시점 에서 근처에 있을 확률밀도

Kolmogorov 구성

브라운 운동의 존재는 유한차원 분포들이 일관성 조건을 만족함을 보이고, Kolmogorov 확장 정리를 적용하여 증명됩니다.

n차원 브라운 운동

정의

여기서 각 는 독립인 1차원 브라운 운동입니다.

성질

• 독립성: for
• 등방성: 회전에 대해 불변
• 증분:

물리적/직관적 해석

1. 분자 운동

• Robert Brown이 관찰한 꽃가루의 무작위 움직임
• 액체 분자들의 충돌에 의한 무작위 보행
• 중심극한정리의 결과

2. 효율적 시장 가설

• 주식 가격의 무작위 보행 모델
• 과거 정보가 미래 예측에 도움 안 됨
• 독립증분 = 시장의 효율성

3. 확산 과정

• 열전도, 물질 확산의 수학적 모델
• 확산방정식 의 확률적 해석

Itô 적분과의 관계

왜 브라운 운동인가?

브라운 운동의 성질들이 Itô 적분을 가능하게 만듭니다:

1. 독립증분: 가 과거와 독립
2. 가우시안: Itô isometry 성립
3. 연속성: 적분의 연속성 보장
4. 마팅게일: Itô 적분도 마팅게일

형식적 미분

하지만 이는 형식적 표기일 뿐, 실제로는 미분불가능합니다.

브라운 운동의 놀라운 성질들

1. 무한 변분 (Infinite Variation)

거의 모든 경로에서:

더 자세한 설명: Infinite Variation of Brownian Motion

2. 어디서도 미분불가능

거의 모든 경로는 모든 점에서 미분불가능합니다.

3. 법칙의 반복 로그 (Law of Iterated Logarithm)

4. 재귀성 (Recurrence)

• 1차원:
• 2차원:
• 3차원 이상:

브라운 운동의 변형들

1. 기하 브라운 운동

2. Ornstein-Uhlenbeck 과정

평균 회귀 성질을 가진 가우시안 과정

3. 분수 브라운 운동

허스트 지수 를 가진 자기상관이 있는 가우시안 과정

Reference

Stochastic Differential Equations 공부하기

관련 개념들

• Moment Generating Function

• Central Limit Theorem - 브라운 운동의 극한정리적 기초

• White Noise and Brownian Motion Relationship - 브라운 운동과 백색잡음의 관계

• Martingale Properties - 브라운 운동의 마팅게일 성질

• Ito Integral의 정의와 특징 - 브라운 운동을 이용한 확률적분

• Gaussian Process - 브라운 운동의 가우시안 과정 성질

• Infinite Variation of Brownian Motion - 브라운 운동의 무한변분 성질 상세 분석

• Markov Property - 브라운 운동의 마르코프 성질