Poisson Distribution

Overview

Poisson distribution은 단위 시간당 평균 번 발생하는 사건이 시간 동안 정확히 번 일어날 확률을 나타내는 이산 확률 분포이다.

이 분포는 exponential waiting time을 가지는 CTRW (Continuous Time Random Walk)의 결과이며, 모든 cumulant가 동일하다는 독특한 성질을 가진다.

Symbol Table

Symbol	Meaning	Unit
	Number of events	dimensionless
	Time	time
	Rate (events per unit time)	1/time
	Mean waiting time	time
	Waiting time PDF	1/time
	Survival probability	dimensionless
	Probability generating function	dimensionless
	Moment generating function	dimensionless
	Cumulant generating function	dimensionless
	m-th cumulant	dimensionless

Key Points

유도 1: 이항분포의 극한

시간 를 개의 작은 구간으로 나누고 (), 각 구간에서 사건 발생 확률을 으로 설정한다.

시간까지(개의 구간 동안) 번의 사건이 일어날 확률은 이항분포를 따른다.

극한에서 (이지만 고정):

따라서 식 (1)을 얻는다.

유도 2: Exponential Waiting Time

Waiting time PDF:

Memoryless property를 가지며 평균 waiting time은 이다.

Survival probability (시간 까지 아무 사건도 안 일어날 확률):

N번 점프의 총 시간 PDF:

Laplace transform 이용:

N-fold convolution:

역변환 (Gamma distribution):
N번의 사건이 일어날 때까지 waiting time distribution

Renewal theory 접근:

” 구간에 정확히 번 점프” = “번째 점프가 안에 일어나고 그 이후 까지는 아무 사건이 안 일어나야 함”

계산하면 식 (1)을 얻는다.

Generating Functions

Probability generating function:

Moment generating function:

평균:

분산:

Cumulant generating function:
은 moment generating function에 로그 취한 것것

모든 cumulant가 같다:

이는 푸아송 분포의 독특한 특징으로, mean = variance = higher order cumulants를 의미한다.

Questions & Insights

Q1: 왜 모든 cumulant가 같은가?

MGF의 구조 에서 자연스럽게 나온다. Taylor expansion하면 모든 차수의 계수가 가 된다.

Q2: Memoryless property의 의미는?

과거에 얼마나 기다렸든 앞으로 기다릴 시간의 분포는 동일하다. 즉 . 이는 exponential distribution만의 특성이다.

Related Concepts

• Moment Generating Function
• Cumulant Generating Function
• Central Limit Theorem
• Brownian Motion Properties
• Laplace Transform
• First Passage Renewal Equation

References

• MIT OCW 18.366 Lecture 16: Continuous Time Random Walks
• Lecture 16 Continuous Time Random Walks.pdf

Notes from Claude

푸아송 과정은 CTRW의 가장 간단한 예시이다. Exponential waiting time이 memoryless property를 만들고, 이것이 모든 cumulant를 동일하게 만든다는 것이 핵심이다.