First Passage Renewal Equation

Overview

First Passage Renewal Equation은 random walker가 특정 위치 x에 시간 t에 있을 확률을 계산하는 기본 방정식이다. Bachelier’s Equation과 매우 닮아있지만, 공간이 아닌 시간에 대해 적분한다는 결정적 차이가 있다.

핵심: 이 식에서 는 반드시 first passage time distribution이어야 한다. 단순히 “시간 에 위치 에 있을 확률”이 아니다!

Symbol Table

Symbol	Meaning	Dimension
	시간 에 위치 에 있을 확률 밀도
	위치 에 처음으로 도달하는 시간의 PDF
	Displacement가 0인 propagator
	First passage가 일어나는 시간

Bachelier’s Equation과의 비교

Bachelier’s Equation (공간 convolution)

특징:

• 공간 변수에 대해 적분
• 적분 범위: ~ (전체 공간)
• : N번째 step의 크기 분포 (단순 transition probability)
• Fourier transform에서 곱셈으로 변환

First Passage Renewal Equation (시간 convolution)

특징:

• 시간 변수에 대해 적분
• 적분 범위: ~ (인과적, 음의 시간 없음)
• : First passage time 분포 (단순 transition이 아님!)
• Laplace transform에서 곱셈으로 변환

비교 테이블

	Bachelier	First Passage Renewal
적분 변수	공간	시간
적분 범위	~	~
Transition	일반 transition	First passage
변환	Fourier	Laplace
의미	N번 step 후 위치	시간 t에 위치 x

왜 First Passage Distribution이어야 하는가?

❌ 만약 그냥 를 쓴다면?

문제: 이중 계산 (Double Counting)

는 시간 에 에 있는 모든 경로를 포함:

• 에 처음으로 에 도달한 경로
• 이전에 이미 를 여러 번 방문한 경로

각 경로마다 를 곱하면:

• 같은 사건을 여러 번 계산하게 됨
• Markov property가 명확하지 않음

✅ First Passage를 쓰면?

해결: Renewal Property

는 시간 에 처음으로 에 도달한 경로만 계산:

• 동안 단 한 번도 에 없었음이 보장
• 에서 “과거가 리셋”됨, 이때때부터 새로운 random walk 시작
• 각 경로가 정확히 한 번만 계산됨

Renewal Theory와의 연결

이 방정식은 Renewal Theory의 기본 방정식이다:

Renewal: “리셋” 또는 “새로 시작”하는 사건
Key Property: Renewal 순간에 과거 기억이 완전히 사라짐 (Markov property)

Laplace Transform에서의 형태

Convolution이므로 Laplace transform에서 곱셈으로 변환:

여기서:

• (Laplace transform)
• : Laplace 변수

왜 Laplace인가?

1. 적분 범위가 (인과적)
2. 많은 가 power-law tail:
3. Fourier는 이런 함수에서 발산하지만 Laplace는 수렴!

응용: Unbinding 문제와의 연결

당신의 DNA-protein unbinding 연구에서:

1D Lattice Unbinding Model

• First passage to unbinding: 단백질이 DNA를 처음으로 떠나는 시간

• : Unbinding time의 PDF

• Survival probability:

Energy-dependent Case

각 site 에서 결합 에너지 에 따라:

Survival conditioning:

• 오래 생존한 입자만 선택 → 깊은 trap 위주 샘플링
• Effective 가 power-law로 변형
• Renewal equation을 통해 subdiffusion 유도!

CTRW Formulation

Montroll-Weiss equation도 결국 renewal equation의 일종:

• : Waiting time distribution (renewal)
• 당신의 모델: energy-dependent
• Survival bias → power-law

차원 체크

식 (1)의 차원을 확인:

• 좌변:
• 우변:
  ✓

Related Concepts

• Bachelier’s Equation (Convolution theorem) - 공간 convolution 버전
• First Passage Time from Position PDF - Laplace 공간에서 계산법

References

• MIT OCW 18.366, Lecture 16 (Bazant)
  Lecture 16 First Passage in the Continuum Limit.pdf