Smirnov Density
Overview
1D Brownian motion의 first passage time distribution. Power-law tail을 가진다.
The Formula
Symbol Table
| Symbol | Meaning |
|---|---|
| x에 처음 도달하는 시간 t의 PDF | |
| Diffusion coefficient | |
| 목표 위치 (고정) |
특징
Power-law tail
Large t에서:
의미:
- 긴 시간까지 도달 안 할 확률이 높음
- Mean first passage time이 발산하지는 않음:
Essential singularity at t=0
- t=0에 정확히 도달할 확률은 0
Laplace Transform
First Passage Time from Position PDF에서 유도:
Inverse Laplace → Smirnov density
Related Concepts
References
- MIT OCW 18.366, Lecture 16 (Bazant)
Lecture 16 First Passage in the Continuum Limit.pdf