First Passage Time from Position PDF

Overview

Position PDF로부터 first passage time distribution을 계산하는 공식. Laplace 공간에서 매우 간단한 형태로 나타난다.

The Formula

Real Space

First Passage Renewal Equation으로부터:

Laplace Space

Convolution → 곱셈:

따라서:

Symbol Table

Symbol	Meaning
	First passage time distribution (Laplace)
	Position PDF at time t (Laplace)
	Zero-displacement propagator (Laplace)
	Laplace variable

의미

입력:

• : x=0에서 시작, 시간 t에 x에 있을 확률
• : 0만큼 이동한 확률

출력:

• : x에 처음 도달하는 시간의 PDF

Laplace 변환 덕분에 나눗셈 하나로 해결.

예제: 1D Brownian Motion

따라서:

Inverse Laplace → Smirnov density:

Power-law tail:

Related Concepts

• First Passage Renewal Equation
• Bachelier’s Equation (Convolution theorem)

References

• MIT OCW 18.366, Lecture 16 (Bazant)
  Lecture 16 First Passage in the Continuum Limit.pdf