Radius of Gyration of Gaussian Chain

Overview

Gaussian chain(이상 사슬)의 회전 반경(radius of gyration) 를 계산하는 방법을 정리한다. 특히 질량중심의 평균과 분산을 혼동하여 발생하는 흔한 실수를 다룬다.

Symbol Table

Symbol	Meaning
	Radius of gyration (회전 반경)
	Number of segments (세그먼트 수)
	Kuhn length (쿤 길이)
	Position of -th vertex
	Center of mass position
	Ensemble average

Definition

여기서 질량중심은:

Key Points

흔한 실수: 이므로 무시?

은 맞다. 하지만 이다!

이것은 랜덤워크에서 이지만 인 것과 같은 논리다.

잘못된 풀이 (오답)

질량중심을 무시하고 원점 기준으로 계산하면:

이것은 틀린 답이다.

올바른 풀이

(1) 전개

합을 취하면:
앙상블에 의해 바뀌는 거랑 index 에 의해 바뀌는 변수를 혼동하는 것 같음.
앙상블 하나가 주어지면 은 와 상관없이 고정된 값.

(2) 표준 트릭의 유도

질량중심으로부터의 거리 제곱합은 모든 쌍 사이 거리 제곱합으로 표현할 수 있다:

유도 과정:

우변을 전개하면:

이중 곱은 summation을 분리할 수 있다. 적분에서 그랬던 것 처럼.

이것은 식 (3)의 좌변과 정확히 일치한다.

(3) Gaussian chain에서 계산

번째와 번째 vertex 사이는 개의 independent random walk step이므로:
절댓값이 핵심이다. 나라면 까먹었을 듯

(4) 이중 합 계산

큰 에서:

(5) 최종 결과

빠진 항의 직접 계산 (대안적 방법)

잘못된 풀이에서 빠진 항을 직접 계산할 수도 있다.

(1) 출발점

(2) 계산

원점에서 시작하는 random walk에서:

내적하면:
합의 내적이 이렇게 되는 건가?

앙상블 평균을 취하면, 이므로:

라고 하면, 는 step 1부터 까지, 는 step 1부터 까지 포함한다. 공통 부분은 step 1부터 까지, 즉 개이다. 따라서:

(3) 이중 합 계산

대칭성을 이용해서 인 경우만 세고 2배 한 뒤, 대각선() 보정:

큰 에서 leading order만 보면:

(4) 결과

따라서:

Questions & Insights

• 핵심 교훈: 확률변수의 평균이 0이라고 해서 그 제곱의 평균(분산)도 0인 것은 아니다.
• 식 (4)의 트릭은 질량중심을 명시적으로 다루지 않아도 되게 해주므로 계산이 간결해진다.
• 이므로, 회전 반경은 end-to-end distance 의 약 배이다.

Related Concepts

• Gaussian Chain (Ideal Chain)
• Generalized Central Limit Theorem Proof

References

• Statistical Physics for Biological Matter (Woo) - Chapter 10, Problem P10.1

Notes from Claude

이 문제에서 발생한 실수는 통계역학에서 매우 흔한 오류 패턴이다. 어떤 양의 평균이 0이라는 사실과 그 양의 제곱 평균(분산)이 0이라는 것은 완전히 다른 명제다.

비유하자면: 주사위를 던져서 (나온 눈 - 3.5)의 평균은 0이지만, (나온 눈 - 3.5)²의 평균은 분명히 양수다.

표준 트릭 식 (4)는 물리학의 여러 분야에서 등장한다. 예를 들어 N-body 시스템의 virial theorem 유도에서도 비슷한 변환이 쓰인다.