이토 공식 (Itô Formula)

개념 정의

이토 공식은 확률적분에서의 연쇄법칙(chain rule)에 해당하는 공식으로, 이토 과정(Itô process)에 매끄러운 함수를 합성했을 때의 미분을 구하는 공식이다.

기호 정의

기호	의미
	이토 과정
	브라운 운동
	함수
	드리프트 계수	아하?
	확산 계수	이게 이 뜻이었군
	변환된 과정

핵심 직관

==브라운 운동의 “거칠음(roughness)” 때문에 가 무시되지 않는 것이 확률미적분의 특징이다. 1계 변분 항으로만 테일러 전개 했음에도, 가 살아있다.==

1차원 이토 공식

정리 (1차원 이토 공식)

가 다음과 같은 이토 과정이라고 하자:

이라 하면, 는 다시 이토 과정이고:

여기서 곱셈 규칙은 다음과 같다:

곱셈 규칙 (식 2)이 성립하는 이유

핵심: 무한소의 차수(order of infinitesimals)로 이해해야 한다.

1. 인 이유

• 는 결정적(deterministic) 이고 1차 무한소
• 는 2차 무한소가 되어 1차에 비해 무시 가능

2. 인 이유

확률론적 직교성(stochastic orthogonality) 에서 나온다.
확률적 직교성은 둘은 곱한 것의 expectation value가 0이라는 뜻.

아마도 dt는 deterministic하고, dBt는 무한 변분에 의해 dt가 얼마나 작든, 변동하니까 확률적 직교성이 생기는 것 아닐까?

이산 근사: 의 제곱 기댓값을 보면:

극한에서:

3. 인 이유 (왜 0이 아닌가?)

브라운 운동의 이차 변분(quadratic variation) 이 시간과 같기 때문:

브라운 운동 증분의 제곱은 1차 무한소이므로 무시할 수 없다!

무한소 차수 요약표

항	차수	극한에서 결과
	1차	유지
	차 (거칠음)	유지
	2차	→ 0
	차	→ 0
	1차	→

적분 형태

이토 공식을 적분 형태로 쓰면:

핵심 예제

예제 1: 계산

, 로 두면:

• 이므로

이토 공식에 의해:

따라서:

예제 2: 적분 부분법

가 연속이고 유계변분을 가지면:

다차원 이토 공식

정리 (다차원 이토 공식)

가 n차원 이토 과정이고:

가 함수라 하면, 의 k번째 성분은:

여기서 이다.

이토 공식의 의미와 중요성

1. 확률적 연쇄법칙: 일반적인 연쇄법칙에 추가적인 2차 미분항이 나타난다.
2. : 브라운 운동의 2차 변분이 시간과 같다는 핵심 사실
3. 마팅게일 보존: 특정 조건에서 이토 공식으로 얻어진 과정도 마팅게일이 된다.

관련 개념

• Brownian Motion Properties
• Ito Integral의 정의와 특징
• Martingale Properties
• Martingale Representation Theorem
• Exponential Martingale

참고문헌

• Øksendal, B. (2003). Stochastic Differential Equations, Chapter 4