여러 시스템의 미시 상태 수 예제

통계역학에서 볼 수 있는 여러 간단한 시스템이 가질 수 있는 거시 상태와 미시 상태의 예제를 모아둔 노트

본격적으로 들어가기 이전에, 혹시 조합의 공식을 잊은 것은 아니겠지?

조합은 곧 N개 중 m개를 순서없이 고르는 경우의 수이다.
구별가능한 N개를 순서대로 줄 세운 후,
m개와 N-m개로 이루어진 그룹으로 나눈 다음,
각 그룹 내부에서 순서가 의미없게 만드는 연산이다.

그러므로 N개 줄세우기 경우의 수를 (m개 줄세우기 경우의 수 x N-m개 줄세우기 경우의 수)로 나누어준다.

Combination(math)

동전 던지기 (Two-state system)

N개의 구별 불가한 동전.
거시 상태의 수는 N+1개이다. 뒤집힌 동전 수가 0개에서 N개까지 가능하므로.
m개의 동전이 뒤집힌 거시 상태의 미시상태 수 은?
그냥… 조합이잖아. N개 중에서 m개를 순서없이 고르는.

그래서 two-state system은 곧 이항 분포를 따른다고 보면 된다.
다시 한번!

Two-state system은 이항 분포!!

아 그런데 만약.
2가지 상태가 있을 수 있는 상태가 아주 많아진다면,
이항 분포여러개가 겹친(??)다면 무슨 일이 벌어질까.
이게 바로 3차원 공간에서 이상 기체이다.

N개 입자의 3차원 harmonic oscillator

harmonic oscillator
Einstein solid라고 부르더라. 원자가 용수철처럼, harmonic potential에 따라 진동하는데.
3차원이라서 원자 하나당 3개의 용수철이 있는 거지.
그리고 양자화된 에너지를 값는다. ground state가 이고, 들뜰 수록 만틈 에너지가 증가하는 그럼 시스템.

N/3개의 원자가 있다면. 즉 N개의 harmonic oscillator가 있다면 계가 있을 수 있는 거시 상태를 뭐라고 둘 수 있을까?

총 에너지 수가 얼마인가? 즉 전체적으로 몇 개의 들뜸이 있는지를 거시 상태로 둘 수 있다 .
그럼 q개의 들뜸이 있는 미시 상태의 수 는 얼마인가?
마치q개의 구별 불가한 공을 N개의 구별 가능한 박스 안에 넣는 경우의 수이다.
N+q-1개의 객체 중, N-1개를 순서 없이 골라 칸막이라고(혹은 q개를 공이라고) 설정하는 경우의 수 이다.
→ 잘 이해가 안 갈 수도 있어.. 괜찮아. 조금만 더 생각해봐. 그림을 나중에 추가해도 되고.

결국 조합이다.

더 자세하게 계산해보기, Einstein solid

Stirling Approximation
이건 무조건 알고 있어야지.

N이 oscillator수, q가 총 들뜬 에너지 수.

(, ) 이라고 전제.

로그를 취하면:

이므로:

여기서 이므로 테일러 근사 (when )를 사용:

일 때 항은 무시:

따라서:

최종 결과

상호작용하는 Einstein solid

A와 B 두 고체가 연결되어 있다면.
둘이 가질 수 있는 총 에너지 양이 정해져 있다면.
먼저 에너지를 두 덩이로 나눌 수 있는(A에 얼마, B에 얼마) 모든 거시상태를 고려한 뒤,
각 거시 상태에서 있을 수 있는 미시 상태 수를 구한다. 어떻게?
A가 특정 에너지를 가질 미시 상태 수(아까 구했던 거) B가 특정 에너지를 가질 미시 상태수

로 말이지

이상 기체

이상 기체의 미시 상태 수

Reference

정량생물학 유우경 교수님 강의 자료
20250922_29_StatisticalMechanics.pdf