QM lecture note - Adiabatic Approximation

강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

오늘의 핵심

Dynamical phase and geometric phase

은 time-independent 경우의 를 일반화한 것이다 (dynamical phase).

이것은 geometric phase이다.

(5.224)를 유도하는 방법?

(5.214) 를 시간 미분하면 이다. ()과 내적하면 항은 orthogonality로 사라지고

따라서 (5.219)의 항과 항을 나눠 쓰면

Aidiabatic approximation으로 두번째 항을 0으로 만든다.

이제 의 정체를 알 수 있다.

필기 내용

이 노트의 설명은 Glia가 작성했다.

시험 대비로 빠르게 완성한 노트. 이후 직접 읽으면서 고치거나 보충할 것.

Sakurai 5.6.2 Adiabatic Approximation

Symbol table

Symbol	Meaning
	Time-dependent Hamiltonian
	Instantaneous eigenstate of
	Instantaneous eigenvalue
	실제로 Schrödinger equation을 따라 시간 발전하는 state
	Expansion coefficient
	Dynamical phase
	Geometric phase (→ Berry’s phase)
	Hamiltonian이 변하는 time scale

1. 아이디어

Hamiltonian의 parameter가 천천히 변하면, 처음에 번째 eigenstate에 있던 계는 계속 “그 순간의” 번째 eigenstate를 따라간다.

• “천천히”의 기준: 변화의 time scale 가 (level 간격에 해당하는 진동 주기)보다 훨씬 길 것
• 고전적 예: 진자를 들고 산을 천천히 오르면, 중력이 약해지면서 주기만 조금씩 길어질 뿐 진자는 정상적으로 흔들린다.
• 양자 예: 수소 원자에 걸린 전기장을 천천히 바꾸면, level이 Stark effect 계산을 그대로 따라간다.

여기서 놓치기 쉬운 것은 phase다. 이 절의 진짜 결과는 phase에 숨어 있다.

2. Instantaneous eigenstate로 전개

각 순간마다 eigenvalue equation이 있다.

Schrödinger equation

의 해를 instantaneous eigenstate로 전개하되, 에너지에서 오는 phase를 미리 떼어 낸다.

은 time-independent 경우의 를 일반화한 것이다 (dynamical phase).
즉, eigen energy가 스리슬쩍 변화하는 상황에서 이 에너지에 의해 누적되어 쌓인 phase이다.
이렇게 떼어 내면 에는 “그 외의 변화”만 남는다.

3. 의 운동방정식

(5.216)을 (5.215)에 넣으면 덕분에 항이 상쇄되고

와 내적하면 (같은 시각의 eigenstate끼리 orthonormal)

새로운 요소는 , 즉 eigenstate 자체가 시간에 따라 변하는 정도다.

항을 로 바꾸기

(5.214) 를 시간 미분하면 이다. ()과 내적하면 항은 orthogonality로 사라지고

따라서 (5.219)의 항과 항을 나눠 쓰면

• 첫째 항: 자기 자신의 phase만 바꾼다.
• 둘째 항: 다른 state 이 으로 섞여 들어온다 (transition). 에 비례하고 level 간격에 반비례한다.

4. Adiabatic approximation

둘째 항을 버린다. 이 근사가 성립하는 조건은

즉 Hamiltonian이 변하는 time scale 가 state의 고유 진동 주기보다 훨씬 길어야 한다. 그러면 첫째 항만 남아 바로 적분된다.

이제 의 정체를 알 수 있다.

은 실수다

을 미분하면

즉 은 순허수이고, 앞에 가 곱해진 은 실수다. 따라서 은 크기를 바꾸지 않는 순수한 phase다.

5. 결과: Adiabatic theorem

처음에 에 있었다면 (, 나머지 0) 계속 에 머물고, 두 종류의 phase만 얻는다.

Phase	정의	의미
(dynamical)		에너지 × 시간. 얼마나 오래 걸렸는지에 의존
(geometric)		eigenstate가 어떻게 돌아갔는지에 의존

6. Self-consistency check와 그 함의

가 시간에 무관한 경우, 를 굳이 시간 phase까지 포함해서 쓰면

이면 (5.224)로 이고, 이므로 두 phase가 상쇄되어

함의 (중요): 이 예는 가 의 phase를 어떻게 잡느냐에 따라 달라진다는 것을 보여 준다. 그래서 오랫동안 은 “phase convention으로 없앨 수 있는 의미 없는 값”으로 여겨졌다. 그런데 parameter가 한 바퀴 돌아 제자리로 오는 경우에는 이 임의성이 사라지고 측정 가능한 값이 남는다. 이것이 다음 절의 Berry’s phase다.

궁금한 내용

연관 학습 노트

• Adiabatic Invariants
• QM lecture note - Linear Stark Effect

다음 강의

QM lecture note - Berry’s Phase

References

• Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Section 5.6.2

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