QM lecture note - Linear Stark Effect

강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

QM lecture note - Time-Independent Degenerate Perturbation Theory

오늘의 핵심

필기 내용

Sakurai 5.2.1 Linear Stark Effect

Symbol table

Symbol	Meaning
	Principal quantum number
	Orbital angular momentum quantum number
	Magnetic quantum number
	Electron charge (, Sakurai convention)
	Bohr radius
	Uniform external electric field (-direction)
	Perturbation operator
	, state
	, state ()
	First-order energy shift
	를 대각화하는 zeroth-order kets (good states)

Degeneracy of the hydrogen atom

Stark effect, 전기장이 있을 때 수소 전자의 에너지가 달라지는 현상.
이제 degenerate한 상황도 풀 수 있으니, 라서 의 degeneracy가 있는 상황도 다룰 수 있다.

한번 풀어보자.
제일 기본, 양자수 값은 상한이 에 의해 주어진다는 사실을 기억하자.

이면 만 있어서 s-orbital만 있고, 이면 이 가능해서 s, p-orbital이 있는 식이다.

에너지 준위는 으로만 결정되어,

이었다. 앞에 비례 상수가 …

따라서 일 때는,

Perturbation

전기장이 direction으로 있다. 그러면 perturbation은 방향 위치와 전기장 세기와 전하량의 곱

==이때, Sakurai convention 상 가 전자의 전하, 음수라는 점에 유의==

Eigen energy 기호와 전기장 세기 기호를 혼동하지 않기 위해, 계속 라고 쓰겠다.

이 시스템은 스핀의 영향을 받지 않는다. 따라서 스핀은 ket에서 표기하지 않는다.
양자수 은 orbital 을 의미한다.

Matrix representation in the subspace

를 degenerate subspace에서 나타내보자.
, , , 이 네가지가 있다.
matrix의 모든 원소를 구할 필요… 없다!

관건은 이 얼마인지가 중요한데, 의 특성을 이용해서 selection rule을 쓸 수 있기 때문.

샌드위치가 0이 아니기 위해서는..

• Parity selection rule: (양쪽 ket의 값 차이) 이 odd number여야 한다.
  이 짝수이면 wave function이 parity even, 홀수이면 parity odd이다.
  Why? 중간에 샌드위치되는 연산자 가 parity에 odd이라면,
  , (). 따라서 일 때만 0이 아니다.
  즉, 양쪽 ket의 parity가 반대여야 한다.
  → 현 상황에 활용: 는 parity odd이다. 이 홀수인 transition만 0이 아니다 (처럼 이 달라도 parity가 같으면 0). 즉, 인 상태가 다른 상태가 될 수는 없다는 것.
• Rotational selection rule: 어떤 연산자 가 , 즉 축 회전에 대칭적이라면,
  이 연산자는 값을 바꿀 수 없다. 이어야 샌드위치가 0이 아님.
  Why?
  → 현 상황에 활용: 이 같은 상태끼리만 전환될 수 있다.

두 조건을 조합하면, 와 사이 전환만 0이 아니며, 나머지는 다 0이라는 것을 알 수 있다.

저거 계산은 어떻게 한 거냐 묻는다면, 그저 적분을 했을 뿐이다.
아래 계산 과정은 보든지 말든지.

(5.92) 계산:

Wave functions ()

적분 세우기 (, )

가 하나는 에서, 하나는 에서 와서 가 된다. 이었다면 때문에 적분이 0이 된다. → (5.91)의 selection rule

Angular part

Radial part () → 이런 적분 공식을 써야하는구나 부분적분으로 하면 고생하겠는데

합치기

Energy shifts and zeroth-order kets

를 알았으니 대각화만 하면 된다.
이걸 와 의 공간에서만 표현하는, 행렬로 다시 reduce.

행렬은 eigen value가 , eigenvector는 이라는 것을 우리는 안다.

에너지 변화가 의 1차식부터 시작하기 때문에 이것을 linear Stark effect라고 부른다.

Energy-level diagram (Fig. 5.1)

AI 답변 — 왜 가 아래로 가나

Sakurai에서 이므로 이다. 즉 는 내려가고 는 올라간다. 그림의 는 간격의 크기를 표시한 것이다.

물리적 확인: 이므로 에서 전자는 쪽으로 치우친다. 이므로 전자는 쪽에 있을수록 에너지가 낮다.

어느 state가 ”+“라는 이름을 갖는지는 phase convention에 따라 바뀔 수 있지만, “전자가 전기장 반대 방향으로 치우친 state가 내려간다”는 물리는 convention과 무관하다.

Permanent electric dipole moment

Validity: Lamb shift vs. perturbation strength

궁금한 내용

연관 학습 노트

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다음 강의

QM lecture note - The Relativistic Correction to the Kinetic Energy

References

• Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Section 5.2.1

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