QM lecture note - Time-Independent Degenerate Perturbation Theory

강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

QM lecture note - Nondegenerate Perturbation Theory Examples

오늘의 핵심

Projection operator

따라서 과 는 마치… 계란 노른자와 흰자를 분리하는 도구 같은 거다.

1st order energy correction

결국, 1st order energy correction은 그저 를 good state로 보쌈한 것이라는 걸 알 수 있다.

1st order state correction

흰자, 부분

의 흰자 부분의 1st order correction을 구했다.
Nondegenerate랑 똑같은 공식, 그저 부속품이 degenerate space밖에 있는 ket이어야 할 뿐

노른자, 부분 → 어려워

2nd order energy correction, 흰자만 쓴다

자세한 유도과정정

7절 내용을 보자. 요약을 잘 했다.
앍 개복잡해.

필기 내용

Symbol table

Symbol	Meaning
	Unperturbed Hamiltonian
	Perturbation operator
	Perturbation의 order를 세기 위한 expansion parameter
	Degenerate subspace
	Degeneracy (dimension of )
	Degenerate subspace 의 unperturbed energy
	처음 주어진 의 unperturbed basis kets
	Perturbed energy eigenket
	에서 이 수렴하는 올바른 zeroth-order ket
	바깥의 unperturbed eigenket ()
	의 unperturbed energy
	Matrix element
	로의 projection operator
	, 바깥으로의 projection operator
	의 matrix, 원소는
	1차, 2차 energy shift
	의 eigenvalue
	, 본문에서 대신 사용
	의 eigenvector
	1차까지의 eigenenergy,

1. Nondegenerate 공식이 실패하는 이유와 “좋은 상태”의 필요성

Nondegenerate 공식은 1차부터 아래 식을 포함한다.

이게 문제가 되는 경우는 이 되어 발산하는 경우다.
Nondegenerate할 때는 다른 eigenstate이면 무조건 energy level이 다르기 때문에 이런 비극이 일어나지 않았다.
그러나 degenerate할 경우, 얼마든지 다른 상태의 에너지가 같을 수 있다.

분모가 0이 되는 것은 필연이다. 그러면 이것을 해결하는 방법은 분자 또한 0으로 만드는 것이다.
이는 곧 를 대각화 하는 것을 의미한다.
우리는 를 대각화하는 ket을 degenerate subspace 내부에서 찾아야 한다.

를 대각화하는 degenerate subspace 내부 ket은 “degenerate perturbation theory를 쓰기에 좋은 상태”이기 때문에, 우리는 이것을 Good state라고 부른다.

2. Degenerate subspace 안에서의 basis 선택

앞으로 degenerate subspace를 라고 부르겠다. 의 차원은 이다.

내부의 ket은 모두 에 대해 에너지 를 가진다.

Good state는 라고 부르겠다.
이는 를 이루는 basis (의 eigenstate이자 degenerate한 것)의 선형 합으로 나타낼 수 있다.

역시 에 대해 eigen energy 을 가진다.

3. Projection operator를 이용한 Schrödinger equation 분리

핵심 연산자 정의

Perturbation이 켜지면, 즉 가 0보다 커지면 가 에 대한 함수 이 된다.

은 perturbation이 있는 hamiltonian 의 eigenket이며, eigenvalue로 를 가진다.

이것을 더 쉽게 전개하기 위하여, 우리는 에 대한 projection operator 를 정의한다.
이 연산자는 에 속하는 ket은 그대로 반환(통과) 시키지만, 밖에 있는 ket은 걸러내어 0으로 만든다.

에 대한 연산자 도 정의하자. 이는 과는 반대로, 에 속하는 ket은 걸러내어 0으로 만들고, 밖에 있는 ket은 그대로 통과시킨다.

따라서 과 는 마치… 계란 노른자와 흰자를 분리하는 도구 같은 거다.

재료 손질

왜 우리는 굳이 흰자와 노른자를 구별해야 하는가? 그것은 가 켜짐에 따라 이 어떻게 변화하는지 보기 위해서이다.
은 원래 노른자 ( 성분)밖에 없었다. 그러나 가 커짐에 따라, 원래는 가지고 있지 않던 흰자(성분)도 포함하기 시작할 것이다.

노른자 분리기를 이용하여 이 변화를 잘 관찰해 보자.

는 여전히 안의 ket이기 때문에 에 대한 eigen energy가 일 것이다.

이 식을 다시 노른자 흰자 분리기에 넣을 것이다.
노른자 성분 에 가 적용되면 또 흰자와 노른자가 섞인 무언가가 될 것이기 때문.
도 마찬가지, 에 적용되면 노른자 성분을 가질 수도 있다.

먼저 (5.75)의 노른자 성분을 알아보자.
맨 우변의 왼쪽에 연산자를 취한다.
는 와 commute한다. 공간은 의 eigenket으로 이루어 졌으니까.
는 아마도 와 commute하지 않을 것이다.
이다. 이 점을 이용하면,
만 남는다,

그러면 식 (5.75)의 노른자 성분은,

그 다음 (5.75)의 흰자 성분을 알아보자.
맨 우변의 왼쪽에 연산자를 취한다.
또한 와 commute한다. 공간도 의 eigenket으로 이루어 졌으니까.
이 될 것이고,
그러면 식 (5.75)의 흰자 성분은,

흰자의 1st correction term, 구하기

(5.77)을 분수 형태로 쓸 수 있다.

분모가 0이 되지 않을 것이라 안심이다. 왜냐면 의 값은 과 가까울 텐데, 의 값은 와 다르기 때문이다.

원래 하던 것 처럼 를 에 대한 함수로 expansion하고,

(5.78)에 대입한 다음, 에 대해 같은 차수의 항을 모아 좌변과 우변을 비교한다.

임을 고려, (5.78)의 좌항에 있는 에 위를 대입하면, 부터 시작한다.
그럼 (5.78)의 1차항은 무엇인가?
먼저, 의 차수부터 정리해 준다. 분모의 가 있는 게 문제이기 때문
일반식, 를 등비급수의 합으로 전개하면,

이므로,
(5.78) 우변의 1차항만 계산하고 싶다면 만 계산하면 된다.
앞에 이미 가 곱해져 있으므로, 나머지는 lowest order로 바꿔도 된다. 즉 .

결론, 식 (5.78)에서 구할 수 있는 1차식으로부터 아래 관계식을 얻는다.

의 흰자 부분의 1st order correction을 구했다.

1st energy correction, 구하기

이제 노른자 성분, 을 구하기 위해 (5.78) 을
(5.76) 에 대입한다.
그러면 식 전체를 에 대해 정리할 수 있다.

(5.80)의 항은 왜 (5.81)에서 사라지는가

(5.80)의 괄호 안에서 을 뺀 나머지를 안에서 작용하는 effective Hamiltonian으로 본다.

항 자체는 에 대한 1차식이 아니다. 이 항은 energy에는 로, eigenvector에는 로 기여한다. Eigen vector에는 1차 항으로 작용한다는 게 신기한 부분, 왜일까?

Eigenvector: 를 unperturbed 부분, 를 perturbation으로 보자. 의 eigenvalue는 이므로 **level spacing이 , 즉 **이다. 원래 degenerate였기 때문에 spacing이 작다. Nondegenerate perturbation theory를 적용하면

분자의 를 분모의 가 하나 상쇄해서 가 남는다. 그래서 eigenvector를 order 까지 구할 때는 이 항을 살려야 한다. → (5.85)~(5.87)

	Energy 보정	Eigenvector 보정
항의 기여	→ (5.81)에서 버림	→ (5.86)에서 살림

험험… 아무튼 그렇다고 한다. 위 박스 속 내용을 완전히 이해할 필요는 없다.
교과서에서 고작 한 줄로 적어서 이해 안 되었던 부분을 AI한테 물어보니 저렇게 답변해줬다.

아무튼 결론은, 에서 eigen energy를 구할 때는 1차까지 신뢰할 수 있고, eigen vector를 구할 때는 0차항 까지 신뢰할 수 있다는 것이다.

그럼 일단 1st order energy correction을 구해보자. 식 (5.80) 에서 2차항을 버리면 그냥

이제부터 서로 다른 good state를 구별하기 위해 라고 lower index를 쓰겠다.

(5.81)을 잘 보면 이거 고윳값 방정식이다.
가 의 eigenvector이며, eigenvalue는 , 즉 1st order energy correction이다.
그러나 주목해야 할 점이 있다면, 벡터와 행렬 모두 space에 한정되어 있다는 것이다.
즉, 는 원래의 에서 reduce 된 matrix이다. 그리피스 교과서책에서는 matrix라고 불렀던 바로 그것이다.

고윳값 방정식을 행렬로 명시적으로 표현하면,

==Good state라는 것은 의 eigenvector라는 것을 알 수 있다.==

결국, 1st order energy correction은 그저 를 good state로 보쌈한 것이라는 걸 알 수 있다.

1st order energy correction이 perturbation에 대한 expectation value라는 점은 nondegenerate이나, degenerate이나 똑같다. 외우기 쉽다!

노른자의 1st order correction, (제일 어려움)

다시 식 (5.80)을 보자.

분모에 있는 1차항은 버리자. 앞서 파란 박스에서 논의한 바에 따르면 은 의 1차항처럼 작용할 것이다.

그리고 이 식 자체에 nondegenerate perturbation theory를 적용한다!!!
에 대해 푼다!!!

처음에 무슨 말인지 정말 이해가 되지 않았다.
교과서에서 영어 문장 한 줄로 설명을 하고 넘어갔으니까!

나는 저자보다 더 잘 설명할 자신 있다.
프라임을 붙여서 원래 표기와 구분하겠다.

마치 이고, 이고, 는 인 것 처럼 푸는 것이다.

, 을 이용해서, nondegenerate perturbation theory의 공식

을 지금 상황에 맞춰 변형하면, (를 적용하는 것을 잊지 말자!)

를 대입하고, 분모 분자의 를 약분,

이런 게 나온다~! (교과서하고 notation이 살짝 다르다)
을 summation으로 표현하면 결국,

6. 2차 energy shift,

을 완전히 알게 되었으니, 도 구할 수 있다.
Nondegenerate perturbation theory에서 유도했던,

을 지금도 활용할 수 있기 때문이다.

이때, 두 번째 항이 0임을 알 수 있다. 예전에 배웠듯, 임을 잊지 말자.

첫 번째 등호는 를 이용해 를 하나 더 끼워 넣은 것이다. 두 번째 등호는 가 Hermitian이고 가 그 eigen-bra이기 때문이다.
주의: 는 가 아니라 의 eigenvector다. 와 는 commute하지 않으므로 이다.

끝!!! 이제 진짜 끝!! 휴!

7. Degenerate perturbation theory의 절차 요약

도구 준비

: degenerate space, 이 안에 사는 ket을 노른자라고 부른다.
: 여기 있는 ket을 흰자라고 부른다.

노른자 필터, 를 위해.

흰자 필터, 를 위해.

재료 손질

슈방에 노른자와 흰자를 따로 넣는다. (노른자인지 도른자인지 알 수 없는)

그 결과를 노른자 필터로 한번 거른다. 이를 ‘슈방의 노른자’ 라고 부른다.

한 켠으로는, 흰자 필터로 한 번 거른다.

위를 분수 형태로 써서 준비해둔다. 이를 ‘슈방의 흰자’ 라고 부른다.

1st order energy correction, 구하기, 동시에 good state 구하기

(학부때는 이것만 알아도 괜찮았지!)

슈방의 노른자와 흰자를 섞어야 한다.

슈방의 흰자를 슈방의 노른자에 대입, 이를 슈방 계란물이라고 부른다.

2차항을 날려

는 원래의 에서 reduce 된 matrix이다. Good state는 의 eigenstate이다.
Eigenvalue는 자연스럽게 가 된다.

고윳값 방정식

흰자의 1st correction term, 구하기

늘 하던 것처럼 perturbed ket을 에 대해 expansion

위를 슈방의 흰자에 대입

위 꼼수를 이용해 더러운 분수 부분의 0차항만 쓴다. 앞에 이미 가 곱해져 있으므로 (lowest order).

정리하면,

nondegenerate perturbation theory에서 배운 과 비교해 보아라. 똑같지?
그저 흰자이기 때문에 흰자속 basis ket의 조합으로 만들어 진다는 제한이 추가되었을 뿐이다.

노른자의 1st order correction, (제일 어려움)

다시 슈방 계란물을 준비

그리고 이 식 자체에 nondegenerate perturbation theory를 적용한다!!!

2nd order energy shift, , 흰자만 쓴다

궁금한 내용

연관 학습 노트

• QM lecture note - Time-Independent Nondegenerate Perturbation Theory
• QM lecture note - Nondegenerate Perturbation Theory Examples

다음 강의

QM lecture note - Linear Stark Effect

References

• Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Section 5.2

원본 필기 이미지

요즘은 바로 obsidian에 쓰는 편이다.