QM lecture note - Time-Independent Perturbation Theory

강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

2학기(양자역학 2)의 첫 강의. 1학기 마지막 필기는 QM lecture note - Density Operator and Entropy이다.

오늘의 핵심

• OT: 중간고사 2026-10-26 (Mon), 기말고사 2026-12-18 (Fri). 중간고사 전까지는 Chapter 5만 다룬다.
• Perturbation theory: 정확히 풀리지 않는 를, 이미 풀린 의 해에서 출발해 의 power series로 근사한다.
• Two-state problem: exact solution을 전개하면 perturbation 결과가 나오고, 수렴 조건 이 필요하다. Perturbation이 작다고 무조건 통하는 것은 아니다.
• Nondegenerate formal expansion: projection operator 로 방향을 제거하여 inverse operator 를 잘 정의한다.
• 결과: ,
• Wave function renormalization: , 은 밖으로의 “leakage” 확률.

필기 내용

0. OT — 2학기 강의 계획

항목	일정
Midterm	2026-10-26 (Mon)
Final test	2026-12-18 (Fri)

주차	범위
Week 1–7	Chapter 5 (Approximation methods) — 중간고사까지 이것만 배운다고?
Week 9–10	Chapter 6 (partially)
Week 11–13	Chapter 7 (partially)
Week 14–15	Chapter 8 (partially)

Symbol table

Symbol	Meaning
	Unperturbed Hamiltonian (이미 풀린 쉬운 Hamiltonian)
	Perturbation
	Perturbation parameter
,	의 eigenket과 eigenvalue
,	전체 Hamiltonian의 eigenket과 eigenvalue
	Energy shift
	을 제외한 projection operator
	Unperturbed basis에서의 matrix element
	Wave function renormalization constant

1. Chapter 5. Approximation Methods

Exact하게 못 푸는 문제를 대충(근사적으로) 풀기 위한 방법들.

5.1.1 Statement of the Problem — Perturbation theory가 뭔가?

Time-independent case. 가 풀고자 하는 어려운 Hamiltonian, 는 perturbation, 는 쉬운 Hamiltonian이다.

에 대해서는 이미 다 풀었다고 치자.

목표는 아래 식을 만족하는 과 을 구하는 것이다.

Perturbation parameter 을 도입한다.

에 대해 expand한다. Solution will be a power series of .

• → unperturbed
• → fully perturbed

, 는 analytic해야만 한다. 그래야 이 접근법이 말이 된다.

5.1.2 The Two-State Problem

Perturbation theory를 적용할 수 있는 쉬운 예시. 과 의 basis로 나타내고, perturbation에 off-diagonal term만 있다고 하자.

또한 Hermitian이어야 하므로 이다.

풀어야 하는 Hamiltonian은

이런 matrix는 쉽게 eigenvalue를 구할 수 있다.

로 치환하면 (위상은 eigenvalue에 영향을 주지 않는다),

이것의 eigenvalue는 로 알려져 있다. 따라서,

이라면 아래와 같이 expansion할 수 있다.

필기 수정

필기에서 로 적힌 부분은 가 맞다. 또한 4차항의 계수는 이 아니라 바로 위 전개식과 같은 이다.

대입해서 전개하면,

AI 답변 — Level repulsion

라 하면, 위쪽 level은 더 올라가고 아래쪽 level은 더 내려간다. 즉 off-diagonal coupling은 두 level을 서로 밀어낸다 (level repulsion). 이 구조는 아래 일반론의 2차 에너지 보정 에서 그대로 다시 나타난다: 위에 있는 상태와 섞이면 내려가고, 아래에 있는 상태와 섞이면 올라간다.

수렴 조건 — 이 solution의 expansion이 수렴할 조건은?

에 비율 판정법을 적용한다. (여기서 은 binomial 계수)

이어야 수렴한다. 여기서 이므로,

이어야 perturbation theory가 통한다.

Perturbation이 작다고 해서 무조건 perturbation theory가 통하는 건 아니다

예시) Free space에 깊이 의 1D square-well potential ()이 있는 경우를 생각하자. 1D에서는 아무리 얕은 attractive well이라도 bound state가 존재하며, 얕은 well의 bound state energy는

필기 수정

필기의 는 가 맞다.

만약 potential의 부호를 뒤집어 repulsive barrier ()로 만들면, 위 식은 에만 의존하므로 perturbation theory는 이 경우에도 bound state가 있다고 말한다. 그러나 실제로는 repulsive barrier에서 bound state가 있을 수 없다.

AI 답변 — 무엇이 잘못된 것인가?

실제 bound state energy를 의 함수로 쓰면 대략 꼴이다. 에서만 bound state가 존재하고 에서는 사라진다. 이 함수는 에서 analytic하지 않다 — 양쪽의 Taylor 전개가 다르기 때문이다.

Perturbation series는 근방의 power series이므로, 원리적으로 와 를 구분하지 못한다. 따라서 5.1.1에서 강조한 ”, 가 analytic해야 한다”는 조건이 깨진 예시이다. 결국 perturbation의 크기가 작은 것만으로는 부족하고, unperturbed state에서 연속적으로(analytic하게) 이어지는 상태여야 perturbation theory가 의미를 가진다. 이 예시의 bound state는 애초에 (free particle)에는 존재하지 않던 상태가 새로 생긴 것이다.

2. Formal Development of Perturbation Expansion — Nondegenerate Case

을 만족하는 eigenket의 set 은 complete하다.

필기 수정

필기의 은 우변이 이어야 한다.

우리의 목표는 , 를 구하는 것. 이들이 의 함수임을 나타내기 위해 를 표기하지만, 이하 생략한다.

Perturbation에 의한 energy shift를 정의한다.

식 (5.1.19)를 다시 쓰면,

Unperturbed와 관련된 항을 좌변으로 모아준다.

양변을 로 나누어 아래 식을 세우고 싶어진다.

그러나 에 성분이 있다면 이 되어 분모가 정의되지 않는다.

그러나! 식 (5.1.21)의 우변에는 문제가 되는 성분이 없다.

필기 수정

필기에서 “식 5.12의 우변”은 식 (5.1.21)의 우변을 말한다.

이 성질을 이용해, 을 제외한 공간에서 역연산자를 정의할 수 있다.

을 의 linear combination으로 나타내자. 그러나 은 제외하고.

Projection operator도 을 빼고 정의하자. 이건 성분만 걸러 없애는 필터 같은 역할을 한다.

이 필터를 inverse operator 앞에 붙여주면 연산자가 잘 정의된다.

에 성분이 없으므로, 식 (5.1.21)을 이렇게 쓸 수 있다.

필기 수정

필기의 “식 2.22”는 식 (5.1.21)을 말한다.

그러나 이것은 식 (5.1.21)의 우변을 0으로 만들 뿐, 에는 성분이 있을 것이다. (가 성분을 죽이므로, 그 성분은 이 식으로 결정되지 않는다.) Exactly 쓰면,

를 구하기 귀찮으니까, 원래의 normalization convention 을 버리고,

라고 그냥 정하자. 사실 학부 양자역학에서는 이러한 점을 당연하게 여기고 넘겼다.

정리하면, 이제 우린 이걸 가지고 있다.

그리고 , 즉 라는 점에서,

이란 걸 알 수 있다.

Perturbation expansion

과 을 perturbation expansion하면,

을 제외한 ket ()에는 성분이 없음에 주목. ( convention의 결과)

이걸 에 대입.

의 차수가 같은 항의 계수를 비교.

Order	Energy shift

즉, 차 에너지 보정을 구하려면 차 ket 보정만 알면 된다.

그리고 perturbation expansion을 (5.1.34)에 대입하면,

항은 이라 무시한다.

의 1차항을 비교하면 을 구할 수 있다.

AI 답변 — 연산자 순서에 관하여

두 번째 등호에서 가 보다 오른쪽으로 옮겨간 것처럼 적혀 있지만, 정확히는 를 먼저 전개한 뒤 에 작용시키는 것이다. 최종 결과는 동일하다.

이를 에 적용,

where

앞으로 모든 matrix element는 unperturbed eigenstate basis로 나타낼 것이다.

Ground state의 2차 energy shift는 항상 음수이다. 모든 에 대해 이므로,

정리하면,

3. Wave Function Renormalization

이라고 정했기 때문에, 은 한 번 더 제대로 된 normalization을 거쳐야 한다. 그 결과를 이라 두고, 비례상수 을 쓰자.

임을 이용하면,

(5.1.45)의 norm을 취하면 (양변 제곱),

필기 수정

필기에는 , 로 적혀 있지만, 이므로 이러면 이 되어버린다. 올바른 식은 이고, 바로 아래의 전개도 실제로 을 전개하고 있다.

을 perturbation expansion하면, 임에 주목하여,

, 이므로,

역수를 취하고 가 작다는 근사를 취하면,

두 번째 항의 값을, perturbation에 의해 이 이 아닌 상태로 될 확률인 “leakage” 로 해석할 수 있다.

AI 답변 — 의 확률 해석

이므로, 자체가 “perturbed state 을 측정했을 때 unperturbed state 에서 발견될 확률”이다. 따라서 는 다른 unperturbed state 들로 새어나간 확률의 합이다. 각 항 가 곧 로의 leakage 확률이다.

이 식은 perturbation theory가 잘 작동하기 위한 조건도 알려준다: . 즉 matrix element가 level spacing보다 작아야 한다. Two-state problem의 수렴 조건과 같은 내용이다. Level spacing이 0인 degenerate case에서는 이 조건이 깨지므로 별도의 처리가 필요하다.

궁금한 내용

연관 학습 노트

• QM lecture note - Nondegenerate Perturbation Theory Examples
• QM lecture note - Simple Harmonic Oscillator

다음 강의

같은 날 이어진 예제: QM lecture note - Nondegenerate Perturbation Theory Examples

References

• Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Section 5.1

원본 필기 이미지