QM lecture note - Variational Methods

강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

QM lecture note - The Zeeman Effect

오늘의 핵심

필기 내용

Symbol table

Symbol	Meaning
	Hamiltonian (exact solution을 모름)
	True ground-state ket
	True ground-state energy
	Trial ket (normalize되지 않았을 수 있음)
	Trial ket에 대한 의 expectation value
	의 exact energy eigenket
	의 energy eigenvalue
	Trial ket의 excited state 성분 크기
	Trial ket의 variation
	Variational parameters
	Hydrogen 예제: trial wave function의 길이 parameter / Infinite well 예제: well의 반폭
	Bohr radius
	와 사이의 “angle”

1. Variational principle (Theorem 8)

대충 정한 실험적인 상태
이것의 에너지로 ground state energy를 가늠할 수 있다.

2. Proof

인 게 보장되어 있다. 왜냐면 은 gorund state이니까.
이 부분이 Variational principle을 ground state에서 밖에 못 쓰는 이유이기도 하다.

3. Error의 order — Stationarity

4. Variational parameter를 이용한 최소화

를 최소로 만드는 을 만드는 parameter vlaue를 찾아라.
일종의 최적화

5. Example 1 — Hydrogen atom ground state

를 대충 정하자면 아래와 같다. 가 variational parameter인 것이다.

AI 답변 — 계산

주의: kinetic energy 적분이 발산한다면 부피 요소 를 빠뜨린 것이다. 에 radial Laplacian을 걸면

두 번째 항의 때문에 없이 적분하면 가 에서 log 발산한다. 을 넣으면 이 되어 문제가 없다.

Normalization

Kinetic energy: 부분적분으로 를 쓰면 2차 미분이 필요 없다. 이므로

(Laplacian으로 직접 해도 가 되어 같은 결과.)

Potential energy

: normalization 으로 나누면

최소화

검산: 최솟점에서 로 virial theorem과 일치한다.

6. Example 2 — One-dimensional infinite well

실제 해는 이렇게 생겼다.

Parabola trial function (variational parameter 없음)

대충 이렇게 에서 0이 되는, even하게 생긴 wave function을 잠정적인 해로 생각하자.

적분 편하당.

대충 이렇게 찍어도 ground state energy를 이렇게나 잘 맞춘다.

를 variational parameter로 둔 trial function

에서 0이 되며 even하게 생겼다는 점은 그대로 두고, 차수만 바꾸어 보면 어떨까?

가 variation parameter이다.
이또한 적분이 쉽다.

로 미분하면,

오차가 꽤 줄어들었다.

Trial ket과 true ground state의 overlap 추정

7. First excited state로의 확장

We can also use the
variational method to estimate the energies of first excited states; all we need to do is work
with a trial ket orthogonal to the ground-state wave function, either exact, if known, or an
approximate one obtained by the variational method.

궁금한 내용

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References

• Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Section 5.4

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