스라소니 머릿속에는

QM lecture note - The Zeeman Effect

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강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

QM lecture note - Spin-Orbit Interaction and Fine Structure

오늘의 핵심

필기 내용

Sakurai 5.3.3 The Zeeman Effect

Symbol table

SymbolMeaning
Uniform external magnetic field (-direction)
Vector potential
Electron charge (, Sakurai convention)
Electron spin magnetic moment
Unperturbed Hamiltonian (central potential)
Spin-orbit interaction
Interaction with the external magnetic field
eigenkets (weak-field base kets)
eigenkets (strong-field base kets)
(5.139)의 CG coefficient
Energy shift due to

Vector potential and minimal coupling

수소같은 전자가 자기장 안에 있다면?
오비탈과 스핀에 따라 에너지가 갈라진다.
NMR의 원리도 Zeeman effect이다 (단, NMR은 핵 스핀의 Zeeman effect이고, 이 절은 전자의 Zeeman effect다).

벡터포텐셜은 아래와 같이 정의된다. 를 컬한게 이니까, 를 위치와 cross product한 것이 자기벡터포텐셜.

자기장이 방향으로 uniform하게 있을 때는 식이 간단해진다.

이렇게 자기포텐셜이 있는 경우, 해밀토니안을 결정하는 유효한 운동량이 바뀐다. 1학기 양자역학 에서 배운 것을 참고한다. (이해할 필요 없이 그냥 외우자)

오른쪽 식, 은 mechanical momentum이라고 불린다. 가 commute하지 않음에 주의.

해밀토니안은 이렇게 달라진다.

여기서 생긴 해밀토니안 추가항은 아마 전자가 오비탈을 돌며 생기는 자기장과 외부 자기장이 상호작용하면서 나타나는 에너지 일 것이다.

아직 스핀-자기장 상호작용을 고려하지 않았다.

까지 더해줘야 진짜 해밀토니안이 나올 것이다.

vs.

식을 간단하게 하는 작업을 하자.
을 풀다 보면, 자기벡터 포텐셜의 divergence를 계산하게 되는데,
==여기서 쓰는 는 divergence가 0이다. 단, 이것은 항상 성립하는 성질이 아니라 gauge 선택(Coulomb gauge)이다. 항상 성립하는 것은 이고, 에 gradient를 더해도 같은 가 나오므로 는 유일하지 않다.==

하지만 그렇다고
이라 생각하면 안 된다는 점. 왜냐면 이건 연산자이기 때문에, 뒤에 있는 ket도 함께 연산되기 때문이다.

을 서로 다른 ket 사이에 적용하는 상황이라면,

위 식은 를 과 내적하는 것.
를 ==position representation ()에서== 곱의 미분법으로 풀어 쓰면,

이를 과 내적.

==(5.126)의 gauge에서 성립하는 을 이용하면,==

놀랍게도 이라는 사실을 알게 된다.

Hamiltonian in a uniform

이제 만 계산하면 된다!
을 이용, 그저 vector 사이 dot product이다.

자연스럽게 가 나와버렸다.

이제 해밀토니안을 간단하게 쓸 수 있다.

은 에 대한 2차항이니, 자기장이 작다고 가정하고 무시하자.
이걸 버리고 스핀-자기장 상호작용 을 추가한다.

정리하면, 아래 식이 perturbation 되시겠다.

Total Hamiltonian (quadratic term omitted)

정리하면, 아래가 unperturbed Hamiltonian.

아래 두 perturbation이 있다.

지난 시간에 배운 Fine structure과,

이번에 도입한 Zeeman effect

한번에 두 perturbation을 함께 고려하는 건 어려운 일이다. (더군다나, 나중에 알게 되지만 와 는 good state basis가 완전 달라서 더 골치아프다.)

다행인 점은 조건에 따라 두 perturbation의 세기가 달라지고, 우세한 perturbation하나만 고려해도 괜찮아진다는 점이다.

비결은 orbital에 의해 생기는 자기장의 세기와 외부 자기장 세기를 비교하는 것이다.
외부 자기장이 약하면(Weak-field limit), fine structure 가 더 우세하다.
외부 자기장이 강하면(Strong-field limit), Zeeman effect 가 더 우세하다.

여기서 잠깐 헷갈리는 부분이 있는데…
우세한 포텐셜을 unperturbed Hamiltonian에 포함시키고, 열세인 것에 perturbation theory를 적용한다는 것이다.

우세한 포텐셜의 eigen ket을 이용하여, 열세인 potential의 expectation value를 계산한다.

Weak-field limit ()

의 eigenket을 써야하기 때문에 , 을 basis삼는다. (m은 것이다. 전체 각운동량)
아래부터는 으로 간략하게 쓴다.
를 perturbation 삼아서 1st order energy correction을 계산,

를 값과 스핀 값에 상응하도록 바꾼다. (사실 안 바꿔도 괜찮을 것 같다)

이제 의 expectation value를 계산한다.

으로는 값을 알 수 없다. CG coefficients를 이용하여
를 의 eigenket으로 분해한다.

위 일반식을 잘 이용하면,

Expectation value를 구하면 끝.

Landé’s formula

을 고려해서 결론을 내면,

Energy shift가 에 비례한다는 것을 알 수 있다.
스핀 뿐만 아니라, 오비탈로 인한 방향 회전도 기여하는 것이다.

Projection theorem으로 다시 구하기

AI 답변 — Projection theorem이 뭐고 왜 쓰나

==Projection theorem (3.488): 같은 subspace 안에서 vector operator 의 matrix element는 방향 성분만 남는다.==

==로 두고 성분을 취하면 이므로 아래 (5.142) 첫 줄이 된다. 를 제곱하면 이므로, CG coefficient 없이 (5.140)과 같은 결과가 나온다.==

==물리적 의미: 과 는 둘레를 빠르게 세차운동하므로, 시간 평균하면 의 방향 성분만 남는다. 그래서 이고, energy shift가 에 비례하는 이유가 이것이다.==

Strong-field limit: Paschen-Back ()

가 우세할 경우, 를 basis 삼는 게 좋다.
==먼저 는 이 basis에서 이미 diagonal이므로, 그대로 unperturbed energy가 된다.==

==그다음, 이 basis로 의 expectation value를 구한다.==

Ladder operator를 이용하면 생각보다 쉽게 풀리는 모습

==왜 degenerate인데도 를 그대로 쓸 수 있나? 만 있으면 와 가 degenerate하다 (가 같음). 그런데 의 항은 을 만 바꾸므로 이 둘을 섞지 못한다. 따라서 degenerate subspace 안에서 가 이미 diagonal이고, 가 그대로 good state다.==

Table 5.1: Quantum numbers in weak and strong magnetic fields

Dominant interactionAlmost goodNo goodAlways good
Weak (or ) *
Strong (or )

* Exception: stretched configuration (e.g. with )

Weak vs. strong의 기준

Intermediate field (Fig. 5.3)

궁금한 내용

연관 학습 노트

다음 강의

QM lecture note - Variational Methods

References

  • Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Section 5.3.3

원본 필기 이미지

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