양자 필기 - Intermediate-Field Zeeman Effect

비공식 자료, 책임 안 짐

이것은 양자물리 (학부용, Griffiths) 강의를 듣고 TA가 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.
교수님께서 검토하신 자료가 아니므로, 전문성을 보장하지 않습니다.

지난 강의

• 양자 필기 - Strong-Field Zeeman Effect (Griffiths 7.4.2)

오늘의 핵심

정리를 끝내고 나서 핵심을 이곳에 적기.
AI한테 시켜도 되는데 추천은 안 함.

기호 정리

Symbol	Meaning
	두 perturbation을 동등하게 다룬 전체 perturbation
	Coupled basis (주어진 , )
	Clebsch–Gordan table 표기의 uncoupled state (여기서 )
	의 여덟 basis state
	Fine structure 에너지 단위,
	Zeeman 에너지 단위,
	state의 최종 에너지

필기 내용

1. Setup

Intermediate regime에서는 와 어느 쪽도 지배적이지 않으므로, 둘을 동등하게 Bohr Hamiltonian에 대한 perturbation으로 다룬다.

여기서는 만 다룬다 (은 Problem 7.30). 이번에는 good states가 무엇인지 자명하지 않아서, degenerate perturbation theory의 full machinery, 즉 matrix 대각화가 필요하다.

2. Basis 선택

Basis는 , , 로 규정되는 state로 잡는다 (footnote 27: , , state를 써도 된다. 그러면 의 matrix element는 쉬워지지만 가 어려워진다. 의 모양은 달라져도 eigenvalue는 basis와 무관하다). Clebsch–Gordan coefficient로 를 로 쓰면 (footnote 28: 이 CG 표기를 7.4.1의 나 7.4.2의 와 혼동하지 말 것)

:

:

3. matrix

이 basis에서 의 nonzero matrix element는 모두 diagonal에 있고 (7.68)로 주어진다. 는 off-diagonal element를 네 개 가진다. 전체 matrix 는 (Problem 7.29)

여기서

4. 대각화

처음 네 eigenvalue는 이미 diagonal에 있다. 남은 것은 두 개의 block이다. 첫 번째 block의 characteristic equation은

이고, quadratic formula로

두 번째 block의 eigenvalue는 같은 식에서 의 부호만 바꾼 것이다.

5. 결과 (Table 7.2)

state의 에너지 ():

Figure 7.11은 이 여덟 에너지를 의 함수로 그린 것이다.

• Zero-field limit (): fine structure 값으로 돌아간다.
• Weak field (): Problem 7.24의 결과를 재현한다.
• Strong field (): Problem 7.27의 결과를 재현한다. 아주 강한 field에서 다섯 개의 서로 다른 준위로 수렴하는 것에 주목 (Problem 7.27에서 예측).

6. 관련 연습문제

• Problem 7.29: 에 대해 와 의 matrix element를 계산해서 (8)의 구성.
• Problem 7.30: state의 Zeeman effect를 weak, strong, intermediate regime에서 분석하고 Table 7.2, Figure 7.11 같은 결과 만들기. 힌트: state에 대한 Wigner–Eckart theorem.

궁금한 내용

AI의 보충 설명

1. 왜 가 이런 block 구조를 가지나

와 는 둘 다 와 와 commute한다. 양자 필기 - Higher-Order Degeneracy의 block diagonalization 논리에 의해, 이나 가 다른 state 사이의 matrix element는 모두 0이다. 따라서 섞일 수 있는 것은 과 는 같고 만 다른 state 쌍뿐이다.

Block	State
	,	0	(짝이 될 가 없음)
	,	1	(에는 없는 )
	,	1	(와 )
	,	1	(와 )

는 와도 commute해서 를 섞지 못하므로, block의 off-diagonal 는 전부 Zeeman 항에서 온다. 실제로 이면 off-diagonal이 사라진다.

2. Figure 7.11에서 선들이 교차하는 규칙 (noncrossing rule)

Figure 7.11을 보면 어떤 선들은 교차하고, 어떤 선들은 가까이 왔다가 서로 밀어낸다. 규칙은 간단하다. 같은 symmetry (여기서는 같은 , )를 가진 준위는 교차하지 않고 (off-diagonal element가 level repulsion을 일으킴), symmetry가 다른 준위는 자유롭게 교차한다 (섞일 matrix element가 0). 이것이 von Neumann–Wigner noncrossing rule이고, 같은 block 안의 두 eigenvalue (14)가 square root 때문에 절대 같아질 수 없는 것이 그 수학적 표현이다.

3. 다른 원자 물리에서도 같은 구조가 나온다

“두 coupling의 세기를 연속적으로 바꾸며 block을 대각화한다”는 구조는 hyperfine structure에 외부 field를 걸 때도 똑같이 나타난다 (Breit–Rabi formula). 두 경우 모두 weak 극한에서는 coupled basis, strong 극한에서는 uncoupled basis가 good state가 되고, intermediate에서 둘이 매끄럽게 이어진다.

연관 학습 노트

• 양자물리 (학부용, Griffiths)
• 양자 필기 - Weak-Field Zeeman Effect
• 양자 필기 - Strong-Field Zeeman Effect
• 양자 필기 - Higher-Order Degeneracy
• QM lecture note - Addition of Angular Momentum and CG Coefficients
• QM lecture note - Wigner-Eckart Theorem Proof and Applications

References

• Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics (3rd ed.), Section 7.4.3 (Table 7.2, Figure 7.11), footnotes 27–28, Problems 7.29–7.30

다음 강의

• 양자 필기 - Hyperfine Splitting in Hydrogen (Griffiths 7.5)

필기 원본

손필기 없음. Griffiths 교재 본문을 바탕으로 정리함.