스라소니 머릿속에는

양자 필기 - Weak-Field Zeeman Effect

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비공식 자료, 책임 안 짐

이것은 양자물리 (학부용, Griffiths) 강의를 듣고 TA가 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.
교수님께서 검토하신 자료가 아니므로, 전문성을 보장하지 않습니다.

지난 강의

오늘의 핵심

정리를 끝내고 나서 핵심을 이곳에 적기.
AI한테 시켜도 되는데 추천은 안 함.

기호 정리

SymbolMeaning
외부 uniform magnetic field ( 방향으로 둠)
Spin-orbit coupling을 만드는 internal field (7.3.2의 )
Orbital, spin magnetic dipole moment
Zeeman perturbation
Fine structure perturbation ()
Fine structure의 good states
Fine structure를 포함한 에너지 (7.69)
Landé g-factor
Bohr magneton,

필기 내용

1. 7.4 도입: Zeeman effect

원자를 uniform external magnetic field 안에 두면 에너지 준위가 이동한다. 이것이 Zeeman effect다. 전자 하나에 대한 perturbation은

Spin magnetic moment는 7.3.2에서 본 대로 g-factor 2를 가지고, orbital magnetic moment는 고전값 그대로다 (footnote 22: extra factor 2는 spin에만 있다).

따라서

footnote 21

이 식은 의 first order까지만 맞다. Hamiltonian의 항을 무시했고 (exact result는 Problem 4.72), orbital magnetic moment는 사실 canonical이 아닌 mechanical angular momentum에 비례한다 (Problem 7.49). 무시한 항들은 order의 보정을 주어 의 second-order 보정과 비슷한 크기이므로, first order에서는 안전하게 무시할 수 있다.

2. 세 가지 regime

Zeeman splitting의 성질은 external field와 internal field의 상대적 크기에 결정적으로 의존한다.

Regime조건UnperturbedPerturbation
Weak field (이 노트)
Strong field
Intermediate비슷함 둘 다, “by hand” 대각화

3. Weak field: 어떤 state가 good state인가

Fine structure가 지배적이므로 를 “unperturbed” Hamiltonian으로, 를 perturbation으로 본다. “Unperturbed” eigenstate는 fine structure에 맞는 이고 “unperturbed” energy는 다.

이 state들은 여전히 degenerate하다. 가 와 (같은 안에서) 에 의존하지 않기 때문이다. 다행히 는 에 대한 good states다.

  • 를 축으로 두면 는 와 commute한다.
  • 는 와도 commute한다.
  • 각 degenerate state는 와 두 quantum number로 유일하게 구별된다.

따라서 matrix를 쓸 필요가 없다 (이미 diagonal).

4. First-order Zeeman correction

인데, 문제는 를 바로 알 수 없다는 것이다.

Vector model (Figure 7.9): Total angular momentum 는 일정하고, 과 는 이 고정된 벡터 주위를 빠르게 precess한다. 따라서 의 (시간) 평균값은 방향으로의 projection이다.

이므로 이고

따라서

대괄호 안의 항이 Landé g-factor 다.

전자 하나의 경우 이고 (footnote 24)

(5)는 근사가 아니다 (footnote 23)

(7)은 를 시간 평균으로 바꿔서 유도했지만, 결과는 exact하다. 와 는 둘 다 vector operator이고 state가 angular momentum eigenstate이므로, Wigner–Eckart theorem에 의해 matrix element가 비례한다 (Problem 7.25).

비례 상수 는 reduced matrix element의 비다.

5. 결과

이므로

여기서

가 Bohr magneton이다.

Degeneracy 해석: Quantum number 의 degeneracy는 rotational invariance의 결과였다 (Example 6.3, total angular momentum에도 같은 논리, footnote 25). 는 공간의 특정 방향 ( 방향)을 골라서 rotational symmetry를 깨고, degeneracy를 푼다.

Total energy는 fine structure (7.69)와 Zeeman (10)의 합이다.

6. 예: Ground state (Figure 7.10)

, , 이므로 . Ground state는 두 준위로 갈라진다.

는 , 는 . 에 대해 그리면 기울기 인 두 직선이 된다.

7. 관련 연습문제

  • Problem 7.23: (7.60)으로 수소의 internal field를 추정하고, “strong”과 “weak” Zeeman field를 정량적으로 구분.
  • Problem 7.24: 의 여덟 state 의 weak-field Zeeman energy를 구하고 Figure 7.10 같은 그림 그리기 (각 선의 기울기 표시).
  • Problem 7.25: Wigner–Eckart theorem으로 두 vector operator의 matrix element가 비례함을 증명 (footnote 23의 근거).

궁금한 내용

AI의 보충 설명

1. “Weak”의 물리적 의미: 두 precession의 속도 비교

Figure 7.9의 그림을 시간 척도로 읽으면 이해가 쉽다. Spin-orbit coupling 때문에 과 가 주위를 도는 속도는 fine structure splitting에 비례하고, 외부 field 때문에 가 주위를 도는 속도는 에 비례한다. Weak field는 앞의 것이 훨씬 빠른 경우라서, 입장에서는 의 방향 평균만 보인다. 그래서 (5)의 projection이 정당화된다. Strong field에서는 반대로 과 가 각각 주위를 독립적으로 돌게 되어 coupling이 끊어진다 (양자 필기 - Strong-Field Zeeman Effect).

2. Landé g-factor의 두 극한

이면 라서 (8)에서 로 순수 spin의 g-factor가 된다. 이라면 이 되어 로 순수 orbital의 g-factor가 된다. 는 안에 spin과 orbital이 얼마나 섞였는지에 따라 1과 2 사이를 보간하는 값이다.

3. Projection theorem (1학기 Wigner–Eckart의 응용)

Footnote 23의 내용을 일반적으로 쓰면, 임의의 vector operator 에 대해 같은 안에서

이 성립한다 (projection theorem). 로 두면 (5)가 “시간 평균”이 아니라 matrix element 수준에서 정확한 식이 된다. 1학기 노트 QM lecture note - Wigner-Eckart Theorem Proof and Applications와 연결된다.

연관 학습 노트

References

  • Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics (3rd ed.), Section 7.4 도입부, Section 7.4.1 (Figures 7.9–7.10), footnotes 21–25, Problems 7.23–7.25

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필기 원본

손필기 없음. Griffiths 교재 본문을 바탕으로 정리함.

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