스라소니 머릿속에는

양자 필기 - Good States in Degenerate Perturbation Theory

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비공식 자료, 책임 안 짐

이것은 양자물리 (학부용, Griffiths) 강의를 듣고 TA가 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.
교수님께서 검토하신 자료가 아니므로, 전문성을 보장하지 않습니다.

지난 강의

오늘의 핵심

Theorem

가 , 와 모두 commute하는 hermitian operator라고 하자. 만약 degenerate eigenfunction 가 의 eigenfunction이면서 서로 다른 eigenvalue를 가지면,

가 perturbation theory에 쓸 good states다.

위의 조건을 만족하는 는 symmeytry를 이용해서 찾을 수 있다.
와 가 공통으로 지키는 symmetry가 무엇인지 여러개 찾아보자.

위 theorem을 이후 강의 내용에서 계속 반복해서 쓸 것이다.

Perturbation쓰는 operator Good quantum numbers
Relativistic correction
Spin-orbit coupling
Weak-field Zeeman
Strong-field Zeeman의 fine structure 부분
Hyperfine (ground state)total spin triplet / singlet

기호 정리

SymbolMeaning
, 와 모두 commute하는 hermitian operator
의 eigenvalue ()
와 의 simultaneous eigenstate와 그 eigenvalue
함수를 반시계 방향으로 만큼 회전시키는 operator
를 바꾸는 operator (45° diagonal에 대한 reflection)

필기 내용

1. 동기

지난 노트의 결론: 이면 가 이미 good state여서 nondegenerate perturbation theory를 그대로 쓸 수 있다. 그렇다면 good states를 처음부터 추측할 수 있는 방법이 있으면 좋겠다. 대부분의 경우 symmetry가 그 방법을 준다.

2. Theorem

Theorem

가 , 와 모두 commute하는 hermitian operator라고 하자. 만약 degenerate eigenfunction 가 의 eigenfunction이면서 서로 다른 eigenvalue를 가지면,

가 perturbation theory에 쓸 good states다.

3. Proof

와 가 commute하므로, 둘의 simultaneous eigenstate 가 존재한다.

가 hermitian이므로

좌변은 , 우변은 이고, hermitian operator의 eigenvalue 는 real이므로

이 식은 모든 에서 성립하므로 극한에서도 성립한다.

Good state는 꼴이다. 이므로 는 둘 중 하나일 수밖에 없다.

  • 이면 (5)에 의해 → good state는
  • 이면 같은 논리로 good state는

Good states를 (degenerate subspace에서 를 대각화하든, 이 theorem을 쓰든) 찾고 나면, 그것을 unperturbed state로 삼아 ordinary nondegenerate perturbation theory를 적용하면 된다.

4. Example 7.4: Example 7.2의 good states를 theorem으로 찾기

저번에 풀었던 아래 예시에 새로운 theorem을 적용해 보자.

의 eigenstate는 단순히 와 축 각각에 대한 1D simple harmonic osillator eigenfunction의 곱이었다.

은 even function, 은 odd function이라는 점만 염두해두자.

는 보다 symmetry가 낮다. 는 continuous rotational symmetry가 있지만, 는 의 정수배 회전에 대해서만 invariant하다.

시도 1: 회전 operator . 로 보내면

, 모두 eigenfuction이기는 하지만,
==둘 다 eigenvalue가 로 같아서 쓸모없다.== Theorem은 distinct eigenvalue를 요구한다.

시도 2: ( 교환). 45° diagonal에 대한 reflection이다. 와 모두 와 를 바꿔도 그대로이므로 와 commute한다. 그런데

즉 는 의 eigenstate가 아니다. 하지만 의 eigenstate가 되는 combination을 만들 수 있다.

Eigenvalue가 로 서로 다르고, 는 , 와 commute하므로 이것들이 good states다. Example 7.2, 7.3의 결과와 일치한다.

5. Moral

Moral

Degenerate state를 만나면, 와 모두와 commute하는 hermitian operator 를 찾아라. Unperturbed state로 와 의 simultaneous eigenfunction (단, distinct eigenvalue)을 고르고, ordinary first-order perturbation theory를 쓰면 된다. 그런 operator를 못 찾으면 를 직접 대각화해야 해야지 뭐… 어쩌겠어

대부분의 경우 는 symmetry가 알려 준다. Chapter 6에서 본 것처럼 symmetry는 와 commute하는 operator와 연결되고, 그것이 바로 good states를 찾는 데 필요한 조건이다.

Theorem이 대각화보다 더 강력한 이유 (footnote 7)

로 good states를 결정하려면 두 eigenvalue 가 달라야 한다. 어떤 경우에는 first order에서 같고 second, third, 혹은 더 높은 order에서야 갈라진다. 이때 는 good states를 알려 주지 못하지만, theorem은 모든 경우에 good states를 알려 준다.

6. 관련 연습문제

  • Problem 7.9 (d): Bead on a ring + dimple 문제에서 theorem의 조건을 만족하는 hermitian operator 를 찾고, 와 의 simultaneous eigenstate가 (c)에서 쓴 good states와 같음을 보이기.

궁금한 내용

AI의 보충 설명

1. Theorem이 를 자동으로 대각화하는 이유 (한 줄 증명)

, 이고 이면

이므로 .
즉 의 서로 다른 eigenvalue를 가진 state 사이에는 가 matrix element를 만들지 못한다.
지난 노트의 “운 좋은 경우 “이 사실 운이 아니라 symmetry의 결과인 것이다.

그렇다면… 와 가 같은 symmetry를 가진다면, 잘 하면 을 그대로 good state로 쓸 수 있는 때가 오지 않을까?
이 경우를 잘 활용하는 것이 앞으로 배울 내용, ‘fine structure’와 ‘Zeeman efffect’이다.

2. 수소 원자 fine structure와 Zeeman effect에서의 적용 (7.3, 7.4 미리보기)

앞으로 배울 남은 chapter 7내용은 사실상 이 theorem을 반복 적용하는 과정이다.

Perturbation쓰는 operator Good quantum numbers
Relativistic correction
Spin-orbit coupling
Weak-field Zeeman
Strong-field Zeeman의 fine structure 부분
Hyperfine (ground state)total spin triplet / singlet

Operator 하나로 모든 state가 구별되지 않을 때는 여러 개의 commuting operator를 함께 써서 eigenvalue 조합이 모두 다르게 만들면 된다. 반대로 commuting operator를 다 써도 구별이 안 되는 state들이 남으면 (예: Stark effect에서 만으로는 이 같은 state들을 구별 못 함) 그 부분은 를 직접 대각화해야 한다.

연관 학습 노트

References

  • Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics (3rd ed.), Section 7.2.2 (Theorem, Example 7.4, Moral), footnote 7, Problem 7.9

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