양자 필기 - Relativistic Correction to Hydrogen

비공식 자료, 책임 안 짐

이것은 양자물리 (학부용, Griffiths) 강의를 듣고 TA가 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.
교수님께서 검토하신 자료가 아니므로, 전문성을 보장하지 않습니다.

지난 강의

• 양자 필기 - Higher-Order Degeneracy (Griffiths 7.2.3)

오늘의 핵심

Relativistic kinetic energy에 의해 더해지는 perturbation Hamiltonian은 아래와 같이 구해진다.

을 사용하면, first-order perturbation energy를 Bohr potential 에 대한 expectation value로 나타낼 수 있다.

Expectation value를 몇 개 계산하고,

이를 (12)에 대입하면 first perturbaion correction을 얻는다.

이 good states이며, 이 good quantum numbers다. 따라서 굳이 degenerate perturbation theory를 쓸 필요가 없었다.

이유는 지난 시간에서 배운 good state의 두 가지 조건을 이 충족하기 때문이다.

• 는 spherically symmetric이라 , 와 commute한다. 즉, , 가 역할을 한다.
• 주어진 의 개 state는 , eigenvalue 조합 양자수 으로 모두 구별된다. (즉, states는 에 대해 모두 다른 eigen value를 가진다.)

기호 정리

Symbol	Meaning
	1학기에 푼 수소 원자 Hamiltonian (kinetic + Coulomb)
	Fine structure constant,
	전자의 rest energy (약 511 keV)
	Bohr energy,
	Bohr radius,
	Kinetic energy, relativistic momentum
	Relativistic correction perturbation
	Relativistic correction의 first-order energy
	전자의 질량 (magnetic quantum number와 구별하기 위해 후자는 로 씀! 교과서에는 이 구분이 안 되어 있어서 잘못하면 헷갈릴 지도…)
	수소 원자의 principal, orbital, magnetic quantum number

필기 내용

1. 7.3 도입: Bohr Hamiltonian은 전부가 아니다, 나머지 자잘한 Hamiltonian의 영향은 perturbation theory로 풀자

1학기(Section 4.2)에서 수소 원자를 풀 때 쓴 Hamiltonian은 Bohr Hamiltonian이다.

전자의 kinetic energy와 Coulomb potential energy뿐이다. 핵의 운동은 을 reduced mass로 바꾸면 보정된다 (Problem 5.1). 그보다 중요한 것이 fine structure이고, 서로 다른 두 mechanism에서 나온다.

1. Relativistic correction (이 노트)
2. Spin-orbit coupling (양자 필기 - Spin-Orbit Coupling and Fine Structure)

Fine structure는 Bohr energy보다 배 작은 perturbation이다. 여기서

가 유명한 fine structure constant다. 그보다 배 더 작은 것이 전기장의 quantization에서 오는 Lamb shift, 또 한 자릿수 더 작은 것이 전자와 양성자의 magnetic dipole moment 사이 상호작용에서 오는 hyperfine structure다.

Correction	Order
Bohr energies
Fine structure
Lamb shift
Hyperfine splitting

2. Relativistic kinetic energy

의 첫 항은 classical kinetic energy에서 왔다.

하지만 relativistic kinetic energy는 total energy에서 rest energy를 뺀 것이다.

이것을 relativistic momentum

로 표현해야 한다. 를 소거하면

이므로

3. Nonrelativistic limit 전개

수소 전자의 kinetic energy는 약 10 eV로 rest energy 511,000 eV에 비해 아주 작다 (footnote 10). 작은 수 로 전개하면

첫 항은 이미 에 있으므로, lowest-order relativistic correction은 위 전개식에서 두번째항이다.

4. First-order correction: 를 피하는 트릭

First-order perturbation theory에 의해

를 직접 계산하는 대신 unperturbed Schrodinger equation을 이용한다.
은 unperturbed system에서 eigen state이기 때문에 unperturbed Schrodinger equation을 지금 써도 되는 것이다. 아마도.

(10)식의 bra에 대해서도 당연히 이기때문에

미분 연산자 문제가 potential의 기댓값 문제로 바뀌었다. 여기까지는 어떤 potential에도 성립한다.

5. 수소 원자에 적용

혼동이 될 수도 있지만, 에 대한 식은 unperturbed Schrodinger equation에서 왔기 때문에 은 그저 Bohr potential이다.

식 (12)에 을 넣으면

필요한 기댓값은 unperturbed state 에서

(14)는 virial theorem으로 쉽게 얻을 수 있다. 이 페이지 하단에 유도 식이 있으니 확인인 (Problem 7.15),
(15)는 쉽지 않다 (Problem 7.42, Feynman–Hellmann theorem 이용).

의 임의의 거듭제곱에 대한 일반식은 Bethe and Salpeter에 있다 (footnote 12).

Bohr radius 를 없애고 으로 정리하려면 다음 관계 하나면 충분하다.

(13)의 괄호 안 세 항이 각각 , , 이 되어

Relativistic correction은 보다 대략 배 작다.

6. 왜 nondegenerate perturbation theory를 써도 되었나

수소 원자는 degeneracy가 심한데 (10)에서 nondegenerate 공식을 그냥 썼다. 이게 괜찮은 이유는 양자 필기 - Good States in Degenerate Perturbation Theory에서 언급한 대칭성 때문이다.

• 는 spherically symmetric이라 , 와 commute한다. 즉, , 가 역할을 한다.
• 주어진 의 개 state는 , eigenvalue 조합 양자수 으로 모두 구별된다. (states는 에 대해 모두 다른 eigen value를 가진다.)

따라서 이 good states이고, 이 good quantum numbers다.

7. Degeneracy는 얼마나 풀렸나

(17)을 보면 이 에 의해서는 바뀌지만 에는 무관함을 알 수 있다.

• degeneracy (-fold)는 남는다. Rotational symmetry 때문이고 (Example 6.3), 이 perturbation도 rotational symmetry를 유지한다.
• degeneracy는 사라진다. 이것은 potential에만 있는 추가 symmetry에서 오는 “accidental” degeneracy라서 (Problem 6.34), 거의 어떤 perturbation에도 깨질 것으로 예상된다.

8. 관련 연습문제

• Problem 7.14: (a) Bohr energy를 와 로 표현. (b) Fine structure constant를 first principles로 계산 (Nobel Prize 문제, 풀지 말 것).
• Problem 7.15: Virial theorem으로 (14) 증명.
  이건 간단하니까 바로 풀어보자.
  Virial theorem:
  
  
  
• Problem 7.16: Problem 4.52의 ()을 에서 확인, 에 대해 comment.
• Problem 7.17(HW2): 1D harmonic oscillator의 lowest-order relativistic correction (Problem 2.12의 technique 이용). → 결국 의 expectation value를 구하라는 것이다. 계산이 귀찮을 뿐 원리는 쉬움.
• Problem 7.18: state에서 , 가 hermitian임을 보이기 (의 delta function 주의).
• Further Problems 중 관련: 7.33 (핵의 finite size 보정), 7.42 (Feynman–Hellmann으로 , ), 7.43–7.44 (Kramers’ relation).

궁금한 내용

AI의 보충 설명

1. 이 절을 읽기 위한 1학기 최소 복습

수소 원자의 eigenstate는 이고 , , 이다. 에너지가 에만 의존하므로 한 준위에 개 state가 degenerate하다 (spin 포함 시 ). Angular momentum은

2. Relativistic correction은 항상 에너지를 낮춘다

이므로 . 따라서 (17)의 괄호는 항상 양수이고 이다. 직관적으로는 (8)에서 항이 말해 주듯 relativistic kinetic energy가 같은 에서 보다 느리게 증가하기 때문이다. 또 이 작을수록 (핵 가까이 가는 궤도일수록) 더 많이 내려가는데, 핵 근처에서 전자가 빨라서 상대론 효과가 크다고 생각하면 자연스럽다.

연관 학습 노트

• 양자물리 (학부용, Griffiths)
• 양자 필기 - Good States in Degenerate Perturbation Theory
• QM lecture note - Orbital Angular Momentum and Spherical Harmonics
• QM lecture note - Symmetry, Conservation Laws, and Degeneracy
• Sakurai 5.17 - Darwin Term and Fine Structure

References

• Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics (3rd ed.), Section 7.3 도입부 (Table 7.1), Section 7.3.1, footnotes 10–12, Problems 7.14–7.18, 7.33, 7.42–7.44

다음 강의

• 양자 필기 - Spin-Orbit Coupling and Fine Structure (Griffiths 7.3.2)

필기 원본

손필기 없음. Griffiths 교재 본문을 바탕으로 정리함.