QM lecture note - Symmetry, Conservation Laws, and Degeneracy

강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

QM lecture note - Aharonov-Bohm Effect and Magnetic Monopole

중간고사 이후 Chapter 4로 넘어감. Chap. 4의 주제는 Symmetry, Conservation Laws, and Degeneracy.

오늘의 핵심

• Noether 정리: 연속 대칭 → 보존량. Generator 가 와 commute하면 는 conserved quantity.
• Degeneracy의 근본 원인: 을 만족하는 symmetry operator 의 존재.
• Parity operator : unitary + hermitian → involutory (), eigenvalue .
• Parity 아래서: polar vector (x, p)는 odd, axial vector (L, S)는 even.
• Symmetric double-well: 에너지 고유상태는 parity eigenstate. . 위치 eigenstate는 에너지 고유상태가 아님 → oscillation.

필기 내용

Noether’s Theorem (복습)

Chap. 4 먼저 나간다: Symmetry, Conservation Laws, and Degeneracy

고전역학의 뇌터 정리를 recall.

Infinitesimal transformation 에서

는 generator. 만약 transform을 해서 라그랑지안이 그대로라면, 어떤 보존량 가 있다:

증명 스케치:

예시 1: 병진 대칭

Transformation: , .

보존량: (전체 운동량).

예시 2: z축 회전 대칭

회전 행렬:

infinitesimal 변환: , .
즉 , .

---

양자역학에서의 대칭과 보존 (Chap. 4 본론)

Transform하는 unitary operator 가 similarity transformation으로 를 불변으로 둔다면, 즉 가 와 commute하면:

Infinitesimal unitary operator:

이면 이 따라오고, 시스템은 에 대칭이며 는 보존량.

Heisenberg 운동방정식으로 확인:

---

Degeneracy

를 만족하는 symmetry operator ,
이것이 degeneracy의 primary reason이다.

이 에너지 고유상태라면:

도 같은 에너지 을 갖는 eigenket.
basis ket을 바꿔도 같은 eigenvalue를 가지기 때문.

예시? free particle에서 momentum ket의 위치를 바꾸어도 같은 에너지 값을 갖는다.

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4.2 Discrete Symmetries — Parity (공간 반전)

Parity operator 정의

Parity는 점대칭. 좌표의 부호를 바꾼다:

즉 . 와 는 anticommute:

이라는 것도 간단하게 알 수 있다.
사실 이긴 하지만, convention에 따라 이라 둔다.

Parity는 Unitary + Hermitian

따라서 eigenvalue는 .

Momentum과 Parity

Momentum은 위치에 대한 generator이다.
Momentum에 parity operator를 취하면 어떻게 될까?
를 만큼 옮기는 translation 이었던 게, parity에 의해서 만큼 옮기는 translation으로 바뀐다.

좌변: , 즉

도 처럼 parity에 대해 odd.

각운동량과 Parity

각운동량 은 parity에 대해 even (axial vector).

Vector 분류

종류	Parity 하에서	예시
Polar vector	odd	,
Axial vector	even	,
(True) Scalar	even
Pseudo scalar	odd

파동함수에 적용

두 번째 변은 parity operator를 에 적용하여 eigen value 이 나온 것이다.

State가 공간에 대칭이면 even, 반대칭이면 odd 파동함수를 갖는다.

Parity eigenket과 파동함수 (예시)

이면, spherical harmonics는 의 simultaneous eigenfunction.

Space inversion 은 구면좌표에서:

이에 따라:

결과:

---

Parity eigenket의 증명 (non-degenerate case)

이라면, 즉 시스템이 공간에 대칭이면.
그리고 non-degenerate 에 대해 이라면,
또한 의 eigenket이다.
즉 해밀토니안이 공간에 대해 대칭으로 설계되어 있다면 해밀토니안의 eigen ket또한 대칭성을 가진다.

proof:

이라 두면:

따라서 는 같은 에너지를 갖는 parity eigenket.
증명이 직관적으로 이해되지 않는다.

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4.22 Symmetric Double-Well Potential

와 가 commute하는 상황.

• : -even eigenstate (symmetric)
• : -odd eigenstate (antisymmetric)
• (반대칭 상태가 에너지 더 높음)

입자 에너지가 barrier보다 작으면,
낮은 우물에서 cos, sin, 높은 우물(barrier)에서 cosh, sinh.

위치 고유상태 (R, L) 정의:

, 은 에너지 고유상태가 아니다.

시간 진화:

괄호 안의 두 번째 항의 위상이 돌면서 과 같아지는 순간이 있음.
이것이 tunneling oscillation이며, 진동 주기는:

: 터널링 덕분에 두 우물 사이에 전류가 흐름.

barrier → ∞ 극한이 되면 터널링이 일어나지 않는다.
oscillation이 멈춘다. 이는 가 되었다는걸 의미한다.

질문: 의정확한 정체가 뭔가? Energy eigen state에서 symmetry한 상태들만 모두 합쳐둔 것인가?

Spontaneous Symmetry Breaking

→ 배리어가 짱 크면 가능: Large system phenomena.
→ 강자성체의 경우, 스핀들 정렬 (spontaneous magnetization).

궁금한 내용

• 가 1이 아닌 다른 값이 나오는 게 가능한지? (non-normalizable 문제 관련)
• Spontaneous symmetry breaking과 degenerate vacuum의 관계가 더 궁금함

AI의 보충 설명

연관 학습 노트

References

• Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Chap. 4
• 9주차 1번 강의 손필기

다음 강의

QM lecture note - Discrete Symmetries

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