QM lecture note - Discrete Symmetries

지난 강의

QM lecture note - Symmetry, Conservation Laws, and Degeneracy

오늘의 핵심

• 이산 대칭(Discrete Symmetry): 연속적이지 않은 변환에 의한 대칭
• 세 가지 이산 대칭을 다룸: Parity, Lattice Translation, Time Reversal
• Parity selection rule: 행렬 원소가 0이 되는 조건
• Bloch’s theorem: 주기적 퍼텐셜에서의 에너지 고유상태의 형태
• Time reversal symmetry: 복소 켤레(complex conjugate)로 구현됨

필기 내용

1. Parity와 Selection Rule

Parity와 연산자의 관계

어떤 연산자 에 대해:

• 이면 는 parity odd
• 이면 는 parity even

Parity Selection Rule

두 개의 parity eigenstate 와 가 있다고 하자:

주장: , 단, 가 아닌 경우!

증명: 는 parity odd이므로 . 따라서:

• 이면 (즉, 이면): 등식이 항상 성립
• 이면 (즉, 이면):

Parity Selection Rule

다른 parity를 가진 두 eigenstate 사이의 행렬 원소만 0이 아닐 수 있다.
즉, 이 되려면 이어야 한다.

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2. Lattice Translation (격자 병진 대칭)

이제 다른 discrete symmetry로 넘어가자: Lattice translation.

설정

주기적 퍼텐셜:

이 경우, 해밀토니안도 periodic하고, lattice translation에 invariant하다.

Translation operator :

는 unitary이지만 Hermitian은 아니다.

질문: 가 그냥 위치 translation을 만드는 연산자랑 무슨 차이인 거지?

둘이 그냥 똑같은 거라고 한다.

Case 1: Periodic Dirac delta potential

Dirac delta가 일정 간격으로 있는 구조이다.
이런 에너지에서 Ground state는 우물 하나에 완전히 자리잡은 상태,
n번째 구멍에 자리잡은 상태를 이라고 부르자.
모든 구멍을 동등하므로, 에 상관없이 모든 ground states의 에너지는 똑같다.

은 에 대한 eigenstate가 아니다:

이는 energy degeneracy 때문에 가능한 것.
은 와 의 simultaneous eigenstate가 아니다

그럼 와 의 simultaneous eigenstate는 무엇일까?
아마 모든 localized state의 선형 결합일 것이다.

검증:

따라서 는 의 eigenvalue 를 가지는 eigenstate이다.

Case 2: Periodic barrier가 유한한 경우 (tunneling 있음)

이제 인접 격자로 넘어갈 확률(tunneling)이 있다:

구체적으로:

따라서 의 작용:

→ 은 더 이상 energy eigenstate가 아님.

그럼 과연 는 energy eigen state일까?

에 를 작용:

인덱스 재정리 (, ):

에너지 eigenvalue:

의 에너지는 에 의존하며, 는 에너지 밴드의 폭(bandwidth) 을 결정한다.

질문: 바로 옆의 이웃 구멍 뿐만 아니라, 옆옆 이웃, 혹은 저 멀리까지도 낮은 확률로 전이할 수 있는 해밀토니안이라면?

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3. 의 물리적 의미와 Bloch’s Theorem

와 파동함수

를 계산해보자:

또한 이므로:

Bloch’s Theorem

위 조건의 해(ansatz):

여기서 — 는 주기로 periodic.

검증:

Bloch's Theorem

주기적 퍼텐셜 를 가지는 계의 에너지 고유함수는 다음 형태로 쓸 수 있다:

여기서 는 격자 주기와 같은 주기를 가진 함수이다.

에너지 밴드 구조

• 는 crystal momentum (quasi-momentum):
• 는 modulo (reciprocal lattice vector)까지만 보존된다.
• 의미있는 범위: 1st Brillouin Zone

에너지 범위:

는 진짜 운동량이 아니다!

는 운동량 연산자의 eigenstate가 아니다:

두 번째 항이 있기 때문에 momentum eigenstate가 아니다.

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4. Time Reversal (시간 역전 대칭)

동기

시간 역전: 시간의 방향을 뒤집어도 운동 방정식의 해인 계를 time reversal symmetry가 있다고 한다.

time reversal은 위상공간에서의 mapping이다.

Case 1: 입자가 속도의 짝수 멱함수를 따르면 → time reversal symmetry를 가진다.

Case 2: 입자가 속도의 홀수 멱함수를 따르면 → time reversal symmetry가 깨진다.
예시: 마찰력(열역학에 의해서 time irreversible) 자기장 로렌츠힘(다만 시간 역전에 자기장의 소스까지 고려한다면 time reversal symmetry를 되찾는다. 만약 자기장이 영구자석에 의한 거라면? 스핀도 time revresal에 odd하기 때문에 )

Time Reversal의 구현: Complex Conjugate

Schrödinger 방정식:

를 해도 이 방정식이 만족되려면:

이 방정식의 양변에 complex conjugate를 취하면:

따라서 가 해이면 도 해이다.

결론

Time reversal은 complex conjugate로 구현된다.

이것이 time reversal operator 가 antiunitary operator인 이유이다.

궁금한 내용

• Bloch sphere와 Bloch’s theorem — 같은 사람이 만든 건가?

AI의 보충 설명

Bloch sphere와 Bloch's theorem은 같은 사람이 만들었나?

네, 둘 다 Felix Bloch (1905–1983)의 작품이다.

• Bloch’s theorem (1928): 박사 논문에서 주기적 퍼텐셜 속 전자의 파동함수 구조를 증명
• Bloch sphere (1946): NMR 연구 중 스핀-1/2 계의 상태를 구면으로 표현하는 방법을 고안

두 결과물의 성격이 전혀 달라서 다른 사람처럼 느껴지지만, 같은 사람이 완전히 다른 맥락에서 각각 만든 것이다. Bloch는 1952년 노벨 물리학상을 수상했는데, Bloch’s theorem이 아니라 NMR 개발 공로로 받았다.

Long-range hopping이 있는 해밀토니안

현재 노트의 모델은 nearest-neighbor hopping만 고려한 경우다:

next-nearest-neighbor 혹은 더 먼 거리까지 hopping 항을 추가하면:

에 작용하면 에너지 eigenvalue는:

일반적으로 번째 이웃까지 hopping 이 있다면:

핵심적으로 달라지는 점:

• 에너지 밴드의 모양이 단순한 cosine에서 여러 cosine의 합으로 복잡해짐
• 밴드폭이 넓어짐 — 더 먼 이웃까지 hopping이 가능할수록 전자가 더 자유롭게 퍼질 수 있음
• 밴드 내에 극값(local min/max) 이 생길 수 있음 — 가 충분히 크면 Brillouin zone 내부에 새로운 극값이 생겨 밴드 구조가 복잡해짐

가 eigenstate가 된다는 구조 자체는 변하지 않는다. Lattice translation symmetry가 살아있는 한 Bloch’s theorem은 항상 성립하고, hopping의 range는 분산 관계 의 모양만 바꿀 뿐이다.

연관 학습 노트

References

• Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Chapter 4
• 강의 필기 (Week 10 - 1)

다음 강의

QM lecture note - Time Reversal Operator

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