스라소니 머릿속에는

QM lecture note - Time Reversal Operator

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지난 강의

QM lecture note - Discrete Symmetries에서 Time Reversal의 동기와 복소 켤레를 통한 구현을 배웠다.

오늘의 핵심

  • Wigner’s theorem: 모든 symmetry operation은 unitary & linear이거나, antiunitary & antilinear이다.
  • 양자역학에서는 내적의 절댓값 보존만으로 충분 → antiunitary operator가 허용된다.
  • Antiunitary operator (unitary complex conjugation)
  • Time reversal operator 가 antiunitary여야 에너지 음수 문제가 해결된다.
  • 에 의해 commutation relation이 보존된다.
  • Wave function: , momentum wave function:
  • Time reversal invariant인 계의 energy eigenstate wave function은 실수이다.

필기 내용

1. Proper Time Reversed State

Time reversal된 파동함수:

출발점

Time reversal과 complex conjugate를 같이 하는 연산자를 생각해 보자.

2. Symmetry Operation과 Antiunitary Operator

Wigner’s Theorem

모든 symmetry operation은 둘 중 하나의 케이스이다:

  1. Unitary & linear
  2. Antiunitary & antilinear

어떤 operator가 , 로 변환할 때, symmetry operator라면 내적이 보존되어야 한다고 보통 생각한다:

이러한 점점에서 symmetry operator는 무조건 unitary operator여야 한다고 생각해 왔다.
왜냐하면:

양자역학에서의 완화된 조건

그러나 양자역학에서는 이 엄격한 내적 보존 조건을 완화할 수 있다:

이 경우, 여도 조건을 만족하며, 이를 만족하는 연산자는 antiunitary operator이다.

Antilinear Operator의 정의

변환 가 antilinear이라 함은:

Antiunitary Operator의 정의

가 antiunitary라 함은:

3. Antiunitary Operator의 구조:

이런 연산자 는 의 형태를 가진다.

  • ==: complex conjugation operator → 새로운 등장!==
  • : unitary operator

질문: 그리고 와 는 교환 가능한가?

AI 답변

이다 (정의상). 이므로 인데, 이라 이다.

와 는 일반적으로 교환하지 않는다. 는 자기 오른쪽에 있는 계수를 복소 켤레하므로, 를 적용하면 의 행렬 원소들이 복소 켤레된다. 즉 이고, 가 실수 행렬이 아닌 한 이다.

는 coefficient에 적용해서 complex conjugation을 일으키지만, basis ket은 변화시키지 않는다. 이 말은 즉슨, 무엇을 basis로 표현하는 가에 따라서 의 적용 결과가 다르게 보일 수 있다는 뜻이다.

아래의 식은 를 basis로 둔 경우이다.

주의

Antilinear operator는 항상 ket side에 적용되도록 주의해야 한다.

의 계산

로 놓으면:

따라서:

이로써 가 antiunitary 조건을 만족함을 확인했다.

4. Time Reversal Operator 의 성질

가 Antiunitary여야 하는 이유

에서 원래 상태 를 고려하자. 만큼 시간이 흐르면:

을 어떻게 이해해야 하는가? 는 “움직임”이 역전된 상태이다. 위치는 그대로이지만, 운동량은 뒤집어진 상태인 것이다.

두 가지 연산을 비교하자:

① 에서 를 적용, 만큼 time-evolve:
그림에서 볼 때는 에서 를 적용하면 파란 벡터가 나오며, 거기서 만큼 time-evolve하면 초록색 벡터가 된다.

② 에서 만큼 시간을 되돌린 뒤 를 적용:
그림에서 볼 때는 에서 만큼 시간을 되돌리면 노란 벡터가 나오며, 여기에 를 적용하면 초록색 벡터가 된다.

운동이 time reversal하다면, ①과 ②의 결과 모두 같은 상태(초록색 벡터)가 되어야 한다.

이로부터:

가정 A: 가 Unitary라면?

이 되어 , 즉 .

이 energy eigenstate이고 이면:

문제!

Time reversal하면 energy가 음수가 된다? 이것은 물리적으로 받아들일 수 없다.

가정 B: 가 Antiunitary라면?

이므로:

핵심

임을 이용하면 와 가 교환하게 된다. 즉, 도 eigenvalue 을 가진 에너지 고유상태가 된다.

도 과 같은 eigenvalue를 가진다.

질문: 하이젠베르크 방식의 basis ket에 complex conjugate operator를 취하면?

AI 답변

핵심은 가 basis 의존적이라는 점이다. 는 “현재 선택한 basis에서 전개 계수를 복소 켤레한다”는 연산이므로, 하이젠베르크 그림에서 basis ket 에 를 적용하면, 의 행렬 원소까지 복소 켤레되어 로 바뀐다. 따라서 시간 의존하는 basis에서는 의 작용이 슈뢰딩거 그림과 다르게 보일 수 있고, 이것이 에서 의 선택이 basis(표현)에 의존하는 이유이기도 하다.

5. Operator의 Time Reversal 변환

기댓값의 변환

를 생각하자. 는?

로 놓으면 이고:
Antiunitary 성질 에 의해 아래 식이 성립

가 observable (Hermitian, )라면:

로 놓으면:

Time-Reversal Odd / Even Operator

Operator를 로 샌드위치한다는 건 마치 similarity transform 처럼 연산자를 시간 역전 변환시킨다는 것이다.

이렇게 변환시킬 때 부호가 어떻게 바뀌는지에 따라 두 가지로 연산자를 분류할 수 있다.

는는

질문

변환했을 때 -1 이나 1 이 곱해지는 것이 아닌, 아예 다른 연산자가 되는것도 가능한가? 이게 아니라면, 왜 가 해르미티안일 때 TR에 의해 부호만 바뀌는 것이 보장되는가?

AI 답변

가능하다. 일반적인 연산자에 대해 이 반드시 일 이유는 없다. 예를 들어 라면:

이것은 도 도 아니다.

로 깔끔하게 분류되는 건 기본적인 역학 변수 (, , 등)에 해당하는 이야기이고, 이들은 고전적으로 time reversal 하에서 어떻게 변하는지가 명확하기 때문에 odd/even으로 분류되는 것이다. 일반적인 Hermitian operator는 odd 부분과 even 부분의 합으로 분해할 수 있다:

Time-reversal odd operator이면:

  • TR에 의해 expectation value의 부호가 바뀜
  • 예시: momentum , angular momentum

Time-reversal even operator이면:

  • TR해도 expectation value가 그대로
  • 예시: position

6. Commutation Relation의 보존

의 보존

정준 교환 관계 의 양변에 를 취하자:

좌변을 전개하면:

결국:

가 antisymmetry하기 때문에 commutation relation이 보존된다.

의 보존

각운동량의 교환 관계 에 대해서도:

역시 commutation relation이 보존된다.

7. Wave Function에 대한 Time Reversal

Position Wave Function

의 position 연산자에 대한 작용을 정리하면:

이고

이를 이용하면:

결론

TR에 의해 wave function은 다음과 같이 변환된다:

슈뢰딩거 방정식에서 예상한 결과와 같다.

예시: Spherical Harmonics

을 적용하면 원래대로 돌아온다.

Momentum Wave Function

임을 이용하면:

일 때:

8. Time Reversal Invariance의 결과

Probability Current Density

여기에 time reversal을 적용하면:

해석

: 시간 역전이라는 건 확률의 흐름이 반대가 되는 것.

Energy Eigenstate의 Wave Function이 실수인 이유

이고 이므로:

는 과 똑같은 기능을 한다. 비축퇴(non-degenerate)의 경우:

결론

Energy eigenstate의 wave function은 무조건 실수값이다.

→ 물리적 의미는 무엇인가?

AI 답변

가 실수이면 이다. 즉, 확률 흐름이 없다 — 정상 상태에서 입자가 어느 방향으로도 “흐르지” 않는다는 뜻이다.

이것은 time reversal invariance와 직결된다. 이면 이 상태는 시간을 뒤집어도 자기 자신이니, 특정 방향으로의 운동이 있을 수 없다. 참고로 이것은 비축퇴 조건 하에서만 성립한다. 축퇴가 있으면 이 과 선형 독립일 수 있고, 그때는 복소 wave function이 가능하다 (예: 에서 ).

궁금한 내용

  • 그리고 와 는 교환 가능한가?
  • 하이젠베르크 방식의 basis ket에 complex conjugate operator를 취하면 어떻게 되는가?
  • Energy eigenstate의 wave function이 실수라는 것의 물리적 의미는 무엇인가?

AI의 보충 설명

연관 학습 노트

References

  • Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Chapter 4.4
  • 강의 필기 (Week 10 - 2)

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