문제
Sakurai 5.17
5장에서는 one-electron atom의 세 가지 relativistic correction 중 두 가지를 유도했다. “relativistic kinetic energy”에서 오는
와 spin-orbit interaction에서 오는 이다. 세 번째 항은 전기장이 변하는 영역에서 electron wave function이 퍼져 있어서 생기며, 이 “Darwin term”의 perturbation은 다음과 같다. 여기서
은 Coulomb potential이다. 을 구하고, 다음을 보여라. Section 8.4에서 이 결과를 Coulomb potential 속 Dirac equation의 해와 비교한다.
오늘의 핵심
- Darwin term은
에 비례하고, Coulomb potential에서는 가 되어 s-state에만 기여한다. - 세 correction을 더하면
-dependence가 완전히 사라지고 에만 의존한다. 에서 인 자리를 Darwin term이 정확히 채운다.
기호 정리
| Symbol | Meaning |
|---|---|
| 전자의 전하 ( | |
| 전자의 potential energy, | |
| Bohr radius | |
| Fine structure constant | |
| Unperturbed energy, 교재 (3.315) | |
| Kinetic, spin-orbit, Darwin first-order shift |
계산 내내 쓰는 조합을 먼저 정리해 둔다.
풀이
1. Darwin term의 연산자 형태
1-1. 이중 commutator
Position representation에서
1-2.
(1)을 대입하면
Coulomb potential에서
따라서
2. First-order shift
2-1. Degenerate perturbation theory를 쓸 수 있는 이유
2-2. 원점에서의 wave function
Spin 부분은 정규화되어 있으므로 결과에 영향을 주지 않는다.
2-3. 결과
(4)에 대입하고 (0)을 쓰면
3. 교재의
모든 항을
3-1. Relativistic kinetic energy: 교재 (5.104b)
3-2. Spin-orbit: 교재 (5.125)
교재의 식은
이것은
4. 세 항의 합
Case (i):
Darwin term은 0이고, (7)에서
(6)과 합친 괄호 안은
Case (ii):
Darwin term은 0이고, (7)에서
(6)과 합친 괄호 안은
Case (iii):
s-state에서는
마지막 등호에서
결론
세 경우 모두
AI의 보충 설명
AI 답변:
-dependence의 소멸과 Lamb shift 합 (8)에서
의존성이 완전히 사라지므로, 같은 과 같은 를 가진 상태는 degenerate로 남는다. 예를 들어 와 가 그렇다. 이 degeneracy를 깨는 것이 QED의 Lamb shift다.
AI 답변: 교재 (5.125) 아래 코멘트와의 연결
교재는 (5.125)가 “
에서도 nonzero인데도 Dirac equation의 올바른 답을 준다”고 적고, 그 기원을 Darwin term으로 돌린다. 실제로 (5.125)의 식에 을 형식적으로 넣으면 이 나오는데, 이것은 (5)의 과 정확히 같다.
물리적으로 올바른 해석은에서 이고 그 자리를 Darwin term이 채운다는 것이다. 두 값은 수치상 우연히 일치한다.
AI 답변: Darwin term의 물리적 그림
Darwin term은 전자의 위치가 Compton wavelength
정도로 번져 있는 효과(Zitterbewegung)다. 전자가 느끼는 potential을 주변에서 평균하면 가 된다. 따라서
인 곳, 즉 핵의 위치에서만 기여하고, 원점에 확률밀도가 있는 s-state에만 영향을 준다.
Section 8.4에서 Dirac equation의 exact energy를차수까지 전개하면 (8)이 그대로 나온다.
궁금한 내용
연관 학습 노트
- QM lecture note - Time-Independent Nondegenerate Perturbation Theory
- QM lecture note - Nondegenerate Perturbation Theory Examples
- QM lecture note - Addition of Angular Momentum and CG Coefficients
References
- Sakurai & Napolitano, Modern Quantum Mechanics, Section 5.3 (5.3.1 Relativistic Correction to the Kinetic Energy, 5.3.2 Spin-Orbit Interaction and Fine Structure), Problem 5.17