QM lecture note - Spin-Orbit Interaction and Fine Structure

강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

QM lecture note - The Relativistic Correction to the Kinetic Energy

오늘의 핵심

필기 내용

Sakurai 5.3.2 Spin-Orbit Interaction and Fine Structure

Symbol table

Symbol	Meaning
	Central (spin-independent) potential, screened Coulomb potential
	Electrostatic potential
	Electron charge (, Sakurai convention)
	Electric field felt by the valence electron
	Effective magnetic field in the electron rest frame
	Electron magnetic moment
	Orbital, spin, total angular momentum
	Spin-orbit Hamiltonian (naive)
	Spin-orbit perturbation ()
	Spin-angular function
	Radial wave function
	First-order energy shift by
	Radial expectation value
	Radial momentum operator
	Fine-structure constant,

Central potential of hydrogenlike atoms

지금까지는 전자가 하나밖에 없는 상황을 다루었으니, 핵으로 인한 potential을 그냥 순수 쿨롱 포텐셜로 쓸 수 있었다. 그러나 전자가 여러개 있는 등, 순수하지 않은 상황도 풀기 위해서,

중심을 향하는 potential을 이렇게 일반화된 함수로 쓸 것이다.

는 전자의 전하이기 때문에 음수이다. 이 에너지의 차원이고, 은 전압 차원의 물리량임을 상기.
표기가 표기인지라 헷갈리기 쉽다.

Spin-orbit interaction

Fine structure는 전자가 오비탈을 돌면서 느끼는 자기장과, 스핀의 자기모멘트가 interaction하여 생기는 추가적인 에너지를 고려하는 것이다.

전자를 원점으로 두는 좌표계에서는 핵이 각운동량 제곱 로 돌고있다.
이는 마치 원형 도선의 중심에서 자기장을 느끼는 경우다.
(궤도 모양에 대한 가정은 필요 없다. Biot-Savart 식은 순간 속도만 쓰므로 원운동이 아니어도 성립한다. 진짜 숨은 가정은 전자 rest frame이 inertial이라는 것이고, 아래 Thomas precession 절 참고.)

전기장은 전압 함수를 하여 구할 수 있다! 이 식을 central potential로 쓰면,

미분하는 함수가 에만 의존하므로, 그라디언트는 라고 단순화할 수 있다.
결국, 전기장은

흡사 비오-사바르 법칙과 같은 식을 이용해 자기장을 구하면,

전자의 자기모멘트는 스핀에 의해 이렇게 주어진다.

에너지는 -(자기모멘트)(자기장) 이다.

속도를 운동량에 대해 나타내고, 식에 자기모멘트를 대입하면,

==는 의 함수인 연산자이지만, , 와 commute한다. 그래서 expectation value가 radial 부분 (5.113)과 angular 부분 (5.114)로 분리되므로, 아직 신경 쓸 필요가 없다.==

중요한 건, 이제 해밀토니안에 라는 흔치 않은 연산자가 들어갔다는 점이다.
이제 공간적인 회전(오비탈)과 스핀이 서로 상호작용하는 것이다.

Factor of two (Thomas precession)

==전자는 원운동(가속)을 하므로 전자 rest frame은 회전하는 non-inertial frame이다. 이 회전 효과(Thomas precession)를 보정하면 factor 이 붙어서 가 된다. 정확한 설명은 Dirac equation에서 나온다.==

Choice of base kets

현재 unperturbed Hamiltonian은 이렇게 생겼다.

에 대한 eigenket을 basis 삼아야 앞으로 삶이 편안해질 것이다.

오비탈과 스핀의 상태를 함께 고려하는 state로는 다음 두 가지 선택지가 있다.

이 중에서 인생이 편안해 지는 것은 바로 두번째 옵션이다.
왜냐면 이 와 commute하기 때문이다.





라는 점을 떠올리며 눈으로 풀어보자.

이로서 우리가 풀어갈 문제가 good state를 이미 아는 degenerate perturbation theory라는 점을 알게 되었다.

본격적인 적분을 하기 전에, wave function이 이런 꼴로 나옴을 상기하자.

First-order energy shift (Landé’s interval rule)

First-order energy shift를 구하는 문제는 이제 의 expectation value를 구하는 것이다.
은 일단 모르는 채로 남겨두고, 을 구하는 것에 집중하자.
우리가 선택한 basis가

이며,

라는 점을 생각하면, 생각보다 간단한 문제라는 것을 알 수 있다!
스핀은 이기 때문에, 값의 선택지가 , 이 두 가지밖에 없다는 점 또한 상기하자.

에 대한 eigenvalue는

에 대한 eigenvalue는

에 대한 eigenvalue는

전부 다 잘 더하고 빼면 아래 식이 나온다.

주의! 여기서 를 나누는 건 스핀의 up/down이 아니란 점! 헷갈리지 말자.
와 각각은 업스핀과 다운 스핀 상태가 섞여있다.

아무튼, 정리를 이어가면,

아직 모르는 부분은 그저 적분으로 풀 수밖에 없어.

Example: sodium D lines (Fig. 5.2)

전자 11개를 가지고 있는 Na를 예시로 생각해 보자.

소금등!

에 있는 최외각전자가 들뜨는 경우를 생각해 보자.
이제 순수한 쿨롱 포텐셜이 아니기 때문에 와 가 에너지 차이가 난다.
또한, 같은 에 속해서 같은 값을 가져도, spin-orbital interaction에 의해 값은 로 다를 수 있다.
이 차이가 또 line splitting을 만든다.

그래서 의 전환이 두 가지 에너지 차이를 가진다. (그림 참고)

실제로 스펙트럼을 분석하면, 상당히 비슷한 파장인 5896과 5890 옴스트롬 선이 보인다고 한다.

이걸 역산하면 Na에서 값을 역산할 수 있겠는데?
로 진동수 차이를 역산 → 에너지 차이 역산 →

AI 답변 — D line으로 역산하기

1. 파장 → 에너지 차이 ( eV·Å)

2. 에너지 차이 → radial expectation value
(5.113)에서 와 의 차이를 구하면

이면 이므로

3. 크기 비교
이므로 이다. 아래 (5.116)의 차원 분석 추정 과 order가 일치한다. (정밀한 파장 5889.95 Å, 5895.92 Å을 써도 meV, 약 로 거의 같다.)

역산이 깔끔하게 되는 이유: 와 의 차이를 보면 다른 보정들이 상쇄된다. 예를 들어 5.3.1의 relativistic kinetic correction (5.104)는 에만 의존하고 에는 의존하지 않아서 차이에서 사라진다. 남는 것은 순수한 효과뿐이다. 단, 라는 phenomenological 처리는 믿고 계산한 것이다.

Order of magnitude

fine structure가 얼마나 미미한지 알아보는 단계.

AI 답변 — Fine structure는 얼마나 작은가

(5.116) 이고 이므로, 차원만 보면 이다. 이를 (5.113)에 넣으면 fine-structure splitting은 다음과 같다.

Balmer splitting(gross structure)은 정도이므로, 둘의 비는 이다.

(5.117) 세 길이 scale, 즉 classical electron radius , Compton wavelength , Bohr radius 는 서로 배씩 차이 난다. 따라서 이다.

(5.119) 그러므로 이다.

핵심: Fine structure는 gross structure에 비해 배 작은 보정이다. Bohr orbit에서 전자 속도는 이므로, 는 상대론적 효과의 크기 와 같다. 그래서 5.3.1의 relativistic kinetic correction도 같은 order이고, 둘을 함께 fine structure라 부른다.

Coulomb potential case (hydrogen atom)

아직 안 푼 부분을 가장 간단한 시스템을 가정하고 풀어보자.

수소전자라서 포텐셜이 순수 쿨롱 포텐셜이라면,

관건은 의 expectation value를 계산하는 것이다.
이건 아직 해본 적이 없다.

: commutator trick → 으악 하기 싫어! 그렇지만 중요할 것 같아

일일이 적분을 하지 않고, 꼼수를 써서 풀 수 있는 문제이다.
지금은 수소 전자이니까 unperturbed Hamiltonian이 라는 걸 생각.
====이 성립,

그러하여, 어떤 연산자 A이든 간에 위 성질로 의 expectation value 가 0이다.

이 성질을 어떻게 활용하냐면, 먼저 에 있는 kinetic energy part를

==이렇게 radial 부분과 각운동량 부분으로 나눈다. 항은 과 commute하므로 아래 commutator에서 사라지고, centrifugal 항 만 남는다.==
연산자를 로 둔다. 그러면 아래 식을 얻는다.

그리고 을 계산한다.
이라는 conjugate relation을 이용,

이다.
이렇게 운동량은 위치에 대한 미분연산자이다.
Commutator를 직접 계산해 보면, 운동에너지항이 미분되면서 항이 나온다는 것을 알 수 있다.

나눠서 잘 풀어보면,

결국 가 미분된 게 부호가 바뀌어서 나오고

결국 가 미분된 게 부호가 바뀌어서 나온다.

모두 정리하면,

와 를 대입하면 다시 아래 결론을 얻는다.

즉, 을 알면 도 알 수 있다는 의미.

Result

수소 전자의 경우는 fine structure energy가 이렇게 나온다.

and the Darwin term

==(5.124)는 로 나누므로 에서는 쓸 수 없다. 그런데 (5.125) 자체는 에서도 0이 아닌 값을 가지며, 이것이 Dirac equation의 정확한 결과와 일치한다. 이 shift의 기원이 Darwin term이다.==

궁금한 내용

연관 학습 노트

• QM lecture note - The Relativistic Correction to the Kinetic Energy
• 양자 필기 - Spin-Orbit Coupling and Fine Structure
• Sakurai 5.17 - Darwin Term and Fine Structure
• QM lecture note - Addition of Angular Momentum and CG Coefficients
• 양자 필기 - Good States in Degenerate Perturbation Theory

다음 강의

QM lecture note - The Zeeman Effect

References

• Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Section 5.3.2

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