QM lecture note - Addition of Angular Momentum and CG Coefficients

강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

QM lecture note - Orbital Angular Momentum and Spherical Harmonics에서 orbital angular momentum 의 position representation, spherical coordinate에서 , , 의 미분 연산자 표현, spherical harmonics 의 유도와 반정수 배제, 그리고 과 spherical harmonics의 관계를 다루었다.

오늘의 핵심

• , , 의 관계: . Orbital part와 spin part의 tensor product로 나타나는 전체 상태
• 두 전자 시스템: 총 spin operator 의 commutation relation 증명
• 두 가지 basis: basis (의 동시 고유상태)와 basis (의 동시 고유상태)
• Singlet과 Triplet: (triplet), (singlet)
• 일반화: 두 각운동량 , 의 합에서 허용되는 의 범위:
• Clebsch-Gordan (CG) Coefficients: basis와 basis를 이어주는 변환 계수
• CG의 4가지 규칙: 조건, 의 범위, unitary + real value, normalization condition
• CG를 찾는 법: 이 최대/최소인 상태부터 적용하여 recursion relation 도출
• Spin-angular functions: 상태의 orbital+spin wave function

필기 내용

1. J, L, S의 관계

J, L, S의 관계는 무엇인가?

지난 노트에서 AI가 언급하기도 했지만, Sakurai에서 정확하게 다룬다.

과 는 정수/반정수 상태에 작용하는, 연산 적용 대상이 배타적인 관계이다.

• 은 고전적으로 관찰되는 회전을 일으키는 연산자
• 는 스핀이라는 양자적이고 “입자에 내재된” 상태를 만드는 연산자

과 의 합집합으로서, 양자적 영역까지 일반적인 rotation generator, 정확하게는 의 commutation property를 가지는 연산자가 이다.

따라서:

더 엄밀하게는 tensor product로 써야 한다:

를 기준으로:

• 왼쪽: 정수 을 가진 ket이 연산되는 공간, 즉 position eigen ket이 span하는 공간 (orbital space)
• 오른쪽: 반정수 를 가진 ket이 연산되는 공간, 즉 spin space

따라서 입자의 전체 상태는 orbital part (integer )와 spin part (half-integer )의 tensor product로 나타낸다:

이 generate하는 회전 연산자도 이렇게 나타낼 수 있다:

2. 각운동량의 합 — 두 전자 시스템 예시

간단한 예시로 2개의 전자가 있는 시스템을 다루자.

두 연산자가 작용하는 공간은 독립적이기 때문에, 시스템 전체의 총 spin operator 역시 와 비슷한 방법으로 나타낼 수 있다:

• : 첫 번째 전자에 작용하는 spin operator
• : 두 번째 전자에 작용하는 spin operator

Commutation Relation

이러면 total spin 도 일반적인 spin operator의 commutation relation을 만족한다:

Proof

교환자를 전개하면 4개의 항이 나온다. 이 중 서로 다른 space에 작용하는 항들은 commute하여 0:

3. 두 가지 Basis

전체 시스템에 대한 ket을 어떤 basis를 이용해 나타낼 수 있을까?

Simultaneous eigen state는 서로 commute하는 operator들로 구성되어야 한다.

두 가지 basis를 사용할 수 있다.

Basis ①: 와 에 대한 simultaneous eigenstate

는 를, 는 를 나타냄.

Basis ②: 와 에 대한 simultaneous eigenstate

여기서 singlet과 triplet 개념이 나온다:

• Triplet: 세 가지 상태( 값들)가 있는
• Singlet: 한 가지 상태만 있는

두 Basis의 관계

① 방식과 ② 방식의 eigen ket은 당연히 one-to-one으로 대응이 안 된다. ② 방식의 eigenkets는 ① 방식 eigenkets의 superposition이다:

CG matrix (basis ①을 행, basis ②를 열로):

(열: , , , 순서)

의 전개

마지막 두 항 때문에 는 와 commute하지 않는다.

4. 일반화: 두 각운동량의 합

두 전자가 아니라, 서로 다른 와 값을 가진 두 입자의 total angular momentum을 구하는 문제(혹은 스핀을 가진 입자가 회전하는 상태)로 일반화해 보자.

Two angular momenta: , 둘은 독립적이며 commute한다.

State space: 두 종류 회전 공간의 ket을 tensor product.

Dimension:

Commuting observables: , , ,

Total angular momentum:

두 가지 Basis

이때 쓸 수 있는 basis는 무엇인가? 서로 commute하는 operator 4개는 무엇인가?

Basis ①: , , , 의 simultaneous eigenket

Basis ②: , , , 의 simultaneous eigenket

5. 허용되는 의 범위

과 가 정해져 있을 때 허용되는 값의 범위는 얼마인가?

를 3차원 벡터합처럼 생각해보면, 를 벡터의 크기라고 순진하게 생각하면:

이를 더 확실하게 알 수 있는 방법은 두 가지 basis에서 양쪽의 차원이 (basis ket의 개수가) 같아야 한다는 것이다.

의 basis 개수:

의 basis 개수:

이를 계산하면:

두 basis의 차원이 일치한다. ✓

Example: , 인 경우

허용되는 의 범위:

grid에서 은 6개 값 (부터 ), 는 5개 값 (부터 )을 가지므로, 총 개의 basis ket이 존재한다.

basis에서는 개.

6. Clebsch-Gordan Coefficients의 정의

와 사이의 변환 규칙을 담은 것이 CG coefficients다.

한 를 의 superposition으로 나타낼 때 계수이므로:

7. CG에 대한 4가지 규칙

규칙 1: 이어야 CG 0

직관적으로 생각해도 당연하다 (각운동량 보존). 로 생기는 특성:

양 변에 를 취하면 (는 Hermitian이니 bra에 반작용):

이면 CG = 0이어야 한다.

규칙 2:

앞서 증명함. 직관적인 설명은 벡터합의 삼각부등식.

규칙 3: Unitary이며 convention에 따라 real value

그래서 orthogonal. Basis transition matrix이니 당연히 이래야 한다.

양 변에 를 취하고, eigenket orthogonality에 의해:

도 비슷하게 orthogonality를 적용하면:

규칙 4: Normalization condition

의 normalization condition에 의해:

어떤 책은 표기법으로 Wigner’s 3- symbol을 쓰기도 한다:

8. CG를 찾는 법: Recursion Relation

이 최대/최소인 에서부터 나 를 적용해 순서대로 나머지 을 구한다.

두 전자()의 예시

가장 먼저:

이것은 규칙에 의해 확정된 것.

를 적용해 의 CG를 찾자:

이 결과가 앞서 보았던 이 이것이다. ✓

일반화된 Recursion Relation

을 계산하고 양 변에 를 적용하면:

• 로 이어진 관계: , 과 를 이어줌
• 로 이어진 관계: , 과 를 이어줌

Recursion relation을 적용하다 보면 금지된 구역을 한 점 겹치는 경우가 있다. 요령껏 변두리부터 답을 구하고 내부로 아는 영역을 확장하면 된다.

9. l-orbital을 도는 전자의 CG: Spin-Angular Functions

예시로 -orbital을 도는 전자를 풀어보자. 이 가능.

일 때를 풀어보자. 임의의 에 대해:

부터 CG 찾기 시작.

recursion relation을 연쇄적으로 적용하면:

이를 연쇄적으로 최대 값()까지 끌어올리면:

전체 angular momentum이 최고인 상태는 두 basis 모두에서 하나의 basis ket이다:

관습상 이라고 둔다. 따라서:

나머지 CG들은 orthogonality를 이용하여 구할 수 있다. 전체 4개의 CG는:

이제 스핀과 오비탈을 전부 포함한 bound electron의 상태를 일반식으로 나타낼 수 있다:

10. Spin-Angular Functions

이를 spin-angular function이라 부른다:

행렬 형태로:

Spin-angular function은 , , , 의 eigenfunction이다.

또한 의 eigenfunction이기도 하나, 앞선 operator와 독립적이지 않다. 왜냐하면:

의 eigenvalue도 쉽게 구할 수 있다:

궁금한 내용

와 가 왜 commute하지 않는가?

에서, 와 항들이 또는 의 값을 바꾸기 때문이다. 구체적으로 이므로 .

CG의 recursion relation을 실제로 적용할 때 어떻게 시작하는가?

가장 높은 값을 가지는 상태, 즉 인 상태 는 항상 와 같다 (규칙 1에 의해 유일하게 결정). 이것을 출발점으로 를 반복 적용하면 같은 에 대한 모든 CG를 구할 수 있다. 다른 값의 시작 상태는 이미 구한 상태들과의 orthogonality 조건으로 결정한다.

AI의 보충 설명

연관 학습 노트

• QM lecture note - Orbital Angular Momentum and Spherical Harmonics
• QM lecture note - Rotation and Angular Momentum
• QM lecture note - Two-Component Spinor and Rotation Operator

다음 강의

QM lecture note - Tensor Operators and Wigner-Eckart Theorem에서 CG coefficients와 rotation matrix의 연결, spherical tensor operator의 정의와 성질, Wigner-Eckart theorem을 다룬다.

References

• Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Chapter 3.7, 3.8
• Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Chapter 4.1 (Symmetry and Conservation Laws)

원본 필기 이미지