강의 필기
이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.
지난 강의
QM lecture note - Time Reversal Operator에서 Time reversal operator
오늘의 핵심
- Time reversal 이외에 다른 antiunitary symmetry가 있는가? → 없다!
- Chapter 3으로 잠시 돌아가서 Rotation을 다룬다.
- Rotation은 서로 직교하는 방향에 대한 변환끼리 commute하지 않는다 → Non-Abelian
- Infinitesimal rotation operator:
- Euclidean space에서
를 계산해 angular momentum의 commutation relation 를 유도 - Consistency check: Baker-Hausdorff formula로
, 이 고전적인 벡터 변환과 동일함을 확인 는 rotation에 대해 vector operator이다.
필기 내용
1. Antiunitary Symmetry에 대한 질문
를 정의할 수가 있나?? 없다면 왜 안 되는가?
Time reversal 이외에 다른 antiunitary symmetry가 있는가? → 없다! 이것은 신기한 부분이다.
2. Rotation과 Angular Momentum의 정의
Chapter 3으로 잠시 돌아가자. Rotation이란 뭐고, 사용하는 unitary operator는 뭔가?
Position translation과 달리, rotation은 서로 직교하는 방향에 대한 변환끼리 commute하지 않는다 → Non-Abelian
Infinitesimal rotation: 아주 작은 각
일반적인 angular momentum
Finite rotation: infinitesimal rotation을 여러 번 한다.
3. Euclidean Space에서의 Rotation Matrix
유클리드 3차원 공간(
Rotation matrix및 rotation operator는 commute하지 않는다.
Infinitesimal rotation in Euclidean space:
4. Commutation Relation의 유도
(3차 항 이상은 무시)
위 식에서 angular momentum operator의 commutation relation이 나온다.
General formula:
Generator들이 commute하지 않는다 → Non-Abelian
핵심 논리
유클리드 공간에서의 rotation matrix의 commutation relation이 quantum rotation operator에도 그대로 적용되어야 한다는 요구로부터 angular momentum의 commutation relation이 자연스럽게 유도된다.
5. Consistency Check: Finite Rotation
Expectation value가 고전적인 변환과 똑같이 변환되는가?
3차원 유클리드 공간의 일반적인 벡터
과연,
아래 식이 성립하는지 확인해야 한다.
Baker-Hausdorff Formula를 이용한 유도
Baker-Hausdorff formula를 적용하면:
결론
따라서
는 벡터다.
Rotation에 대해 이와 같은 transformation property를 보이는 operator를 vector operator라고 부른다.
궁금한 내용
를 정의할 수가 있나?? 없다면 왜 안 되는가?
AI의 보충 설명
연관 학습 노트
References
- Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Chapter 3.1, 3.2
- 강의 필기 (Week 11 - 1, p.1~3)
다음 강의
QM lecture note - Time Reversal for Spin-½ System