QM lecture note - Rotation and Angular Momentum

강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

QM lecture note - Time Reversal Operator에서 Time reversal operator 의 성질과 wave function에 대한 time reversal을 다뤘다.

오늘의 핵심

• Time reversal 이외에 다른 antiunitary symmetry가 있는가? → 없다!
• Chapter 3으로 잠시 돌아가서 Rotation을 다룬다.
• Rotation은 서로 직교하는 방향에 대한 변환끼리 commute하지 않는다 → Non-Abelian
• Infinitesimal rotation operator:
• Euclidean space에서 를 계산해 angular momentum의 commutation relation 를 유도
• Consistency check: Baker-Hausdorff formula로 , 이 고전적인 벡터 변환과 동일함을 확인
• 는 rotation에 대해 vector operator이다.

필기 내용

1. Antiunitary Symmetry에 대한 질문

를 정의할 수가 있나?? 없다면 왜 안 되는가?

Time reversal 이외에 다른 antiunitary symmetry가 있는가? → 없다! 이것은 신기한 부분이다.

2. Rotation과 Angular Momentum의 정의

Chapter 3으로 잠시 돌아가자. Rotation이란 뭐고, 사용하는 unitary operator는 뭔가?

Position translation과 달리, rotation은 서로 직교하는 방향에 대한 변환끼리 commute하지 않는다 → 때문에 Abelian group이 아니다. Non-Abelian이라고 부른다.

Infinitesimal rotation: 아주 작은 각 만큼 돌려보자.

는 정해진 방향으로 각 만큼 돌리는 회전 연산자.
위와 같은 기능을 하는 연산자 는,
: generator of rotation = angular momentum

일반적인 angular momentum 를 generator로 정의하여:

은 을 회전축삼아서 만큼 돌리는 general rotation operator이다.

Finite rotation: infinitesimal rotation을 여러 번 한다. 를 무한히 곱한다. 정의상 exponential function이 나온다.

3. Euclidean Space에서의 Rotation Matrix

유클리드 3차원 공간()에서의 rotation 을 생각하자.

Rotation matrix및 rotation operator는 commute하지 않는다.
예를 들어, 어떤 물제를 x축에 대해 90도 돌리고 y축에 대해 90도 돌린 것과, y축에 대해 90도 돌리고 x축에 대해 90도 돌린 것을 비교해 보면 결과가 다름을 알 수 있다.

유클리드 공간에서 infinitesimal rotation을 Matrix로 나타내면 이렇다.
고전역학 시간에 배웠던 것 그대로이다.
다만 에 대한 삼각함수를 테일러전개하여 2차항 까지만 나타냈을 뿐이다.

4. Commutation Relation의 유도

를 행렬곱으로 계산해 보자.

(3차 항 이상은 무시)

와 같은 commutation 성질을 , , 도 가져야 한다.

를 까지 전개하면,

그리고 와 commutation 연산을 해보면

위 식에서 angular momentum operator의 commutation relation이 나온다.

General formula 는 레비치비타 기호로 나타낼 수 있다.

핵심 논리

유클리드 공간에서의 rotation matrix의 commutation relation이 quantum rotation operator에도 그대로 적용되어야 한다는 요구로부터 angular momentum의 commutation relation이 자연스럽게 유도된다.

5. Consistency Check: Finite Rotation

Expectation value가 고전적인 변환과 똑같이 변환되어야 양자약학은 말이 된다.
Angular momentum은 그 자체로 벡터이기 때문에, 그것의 expectation value인 또한 벡터처럼 변환이 되어야 한다.

3차원 유클리드 공간의 일반적인 벡터 를 축 회전축삼아 만큼 돌리면:

이런 회전 변환 규칙을 따라야 물리량을 벡터라고 부를 수 있다.
과연, 의 expectation value도 위와 같은 변환을 따를 것인가?
아래 식이 성립하는지 확인해야 한다.

계산:

어떤 연산자가 exponential operator 사이에 끼어있을 때 사용해야 하는 공식은?

Baker-Hausdorff Formula

\exp(i\lambda G),A,\exp(-i\lambda G) = A + \frac{i\lambda}{1!}[G,A] + \frac{(i\lambda)^2}{2!}[G,[G,A]] + \frac{(i\lambda)^3}{3!}[G,[G,[G,A]]] + \cdots

= \langle \alpha \vert, J_x + i\frac{\phi}{\hbar}\underbrace{[J_z, J_x]}{i\hbar J_y} + \frac{1}{2!}\left(i\frac{\phi}{\hbar}\right)^2\underbrace{[J_z,[J_z,J_x]]}{-(i\hbar)^2 J_x} + \frac{1}{3!}\left(i\frac{\phi}{\hbar}\right)^3\underbrace{[J_z,[J_z,[J_z,J_x]]]}_{-(i\hbar)^3 J_y} + \cdots ,\vert \alpha \rangle

= \langle \alpha \vert, J_x + (-\phi)J_y - \frac{(-\phi)^2}{2!}J_x - \frac{(-\phi)^3}{3!}J_y + \frac{(-\phi)^4}{4!}J_x + \frac{(-\phi)^5}{5!}J_y - \frac{(-\phi)^6}{6!}J_x + \cdots ,\vert \alpha \rangle

= \langle \alpha \vert, J_x\cos\phi - J_y\sin\phi ,\vert \alpha \rangle

= \langle J_x \rangle\cos\phi - \langle J_y \rangle\sin\phi \quad \checkmark

\langle J_y \rangle’ = \langle \alpha \vert, J_y + i\frac{\phi}{\hbar}\underbrace{[J_z, J_y]}{-i\hbar J_x} + \frac{1}{2!}\left(i\frac{\phi}{\hbar}\right)^2\underbrace{[J_z,[J_z,J_y]]}{-(i\hbar)^2 J_y} + \frac{1}{3!}\left(i\frac{\phi}{\hbar}\right)^3\underbrace{[J_z,[J_z,[J_z,J_y]]]}_{(-1)^3(i\hbar)^3 J_x} + \cdots ,\vert \alpha \rangle

= \langle \alpha \vert, J_y + (-1)(-\phi)J_x + \frac{1}{2!}(-1)^2(-\phi)^2 J_y + \frac{1}{3!}(-1)^2(-\phi)^3 J_x + \cdots ,\vert \alpha \rangle

= \langle \alpha \vert, J_y\cos\phi + J_x\sin\phi ,\vert \alpha \rangle

= \langle J_y \rangle\cos\phi + \langle J_x \rangle\sin\phi \quad \checkmark