QM lecture note - Two-Component Spinor and Rotation Operator

강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

QM lecture note - Kramers’ Degeneracy에서 Kramers’ degeneracy theorem을 증명하고, E/B-field 상호작용에서의 time reversal 대칭 여부를 논의했다.

오늘의 핵심

• 다시 Chapter 3으로 돌아감:
• 공간 차원이 2이면 → Spin-½과 동일한 표현식: Two-component spinor
• Pauli matrix 의 성질 6가지
• 의 matrix 표현과 핵심 identity:
• Rotation operator의 명시적 유도:
• : 2차원 표현의 핵심 특성, 일반적으로
• 방향 spinor의 명시적 표현
• SO(3)과 SU(2)의 비교: Lie group, Lie algebra, parameter space

필기 내용

1. Chapter 3으로의 복귀: 각운동량 교환 관계

지난 시간에 를 유도했다.

공간의 차원이 1이라면: 모든 연산자가 스칼라이므로 모든 연산자가 commute한다. 의 관계를 따르는 0이 아닌 operator는 없다.

공간 차원이 2라면: Spin 과 표현식이 같다 → Two-component spinor.

2. Two-Component Spinor

Basis 에서 :

임의의 ket과 bra의 표현:

Spinor 표현:

3. Pauli Matrices

의 matrix representation: ,

기댓값

4. Properties of Pauli Matrices

1. : 모든 Pauli matrix는 orthogonal matrix (자기 자신이 inverse)
2. (일종의 antisymmetry: 연산 순서를 바꾸면 음수가 붙음)
5. : Hermitian

5. 의 계산

Pauli matrix의 vector 를 정의하고, 임의의 벡터 와의 내적을 계산한다:

6. 핵심 Identity:

두 행렬의 곱을 직접 계산하면:

대각 성분의 (1,1) 원소를 전개하면 가 나오고, 나머지도 마찬가지로:

한편:

이것을 대입하면 결국:

특수한 경우 ():

특히 일 때:

이 성질이 나중에 증명할 때 유용하게 쓰인다.

7. Rotation Operator의 명시적 유도

지난 시간에 을 이용했다. 이제 이것을 일반적인 축에 대해 증명한다.

이므로:

Taylor 전개:

을 반복 적용하면:

Matrix 표현:

8.

축이나 에 상관없이 만큼 돌리면:

이상한 결과

회전이 항등 변환이 아니라 이다! 이것은 2차원 표현 (spin-½)의 특성이다.

일반적으로:

• Integer spin: 회전 → (원래 상태)
• Half-integer spin: 회전 → ( 회전해야 원래 상태)

9. 방향 Spinor의 명시적 표현

방향의 spinor 를 명시적으로 구해보자. 은 축에서 축으로 만큼 돌리고, 축으로 만큼 돌린 방향이다.

10. SO(3)과 SU(2) 비교

SO(3): Special Orthogonal Group

: 3D 공간에서 원점을 중심으로 한 모든 회전의 집합.

• Orthogonality constraint: → 길이와 각도를 보존
• Special: (이 조건을 만족시키지 않으면 회전이 아님. 예: 이면 반사)

는 group이다:

1. 닫힘 (closure): 이면
2. Associativity: 이면
3. Identity element: such that
4. Inverse: , such that

SU(2): Special Unitary Group

: 인 unitary matrix의 집합.

SO(3)과 SU(2)의 관계: Lie Theory

Lie theory: 연속 대칭에 관한 이론.

Infinitesimal transformation: (여기서 는 generator)

과 는 모두 Lie group이다.

Lie group 의 Lie algebra : 이고 인 의 집합.

SO(3)의 Lie Algebra

에서 이면 (여기서 는 행렬):

이 조건을 만족하는 generator들:

를 operator로 정의하기 위해 를 곱하면:

이들은 의 성질을 가진다.

SU(2)의 Lie Algebra

(설명은 동일한 과정)

Parameter Space

SU(2):

4개의 실수가 필요하다: ,

이는 4차원 공간에서의 3-sphere ()이다.

• SU(2)는 전체 3-sphere ()
• SO(3)는 반쪽 3-sphere (antipodal points를 동일시)

SU(2)에서 2개의 원소가 SO(3)에서는 1개에 대응한다.

그러나 locally isomorphic하다: Lie algebra가 동일하다.

SU(2)에서 SO(3)로의 2:1 대응

와 는 SU(2)에서는 다른 원소이지만, SO(3)에서는 같은 회전을 나타낸다. 이것이 정확히 “반쪽 3-sphere”와 어떻게 대응되는지?

궁금한 내용

• SU(2)에서 SO(3)로의 2:1 대응의 기하학적 의미: “반쪽 3-sphere”
• identity의 off-diagonal 원소 계산을 직접 해볼 것
• Pauli matrix가 왜 대신 로 표기되었는가? (강의 notation)

AI의 보충 설명

연관 학습 노트

• QM lecture note - Rotation and Angular Momentum
• QM lecture note - Time Reversal for Spin-½ System

References

• Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Chapter 3.2, 3.3

다음 강의

QM lecture note - Euler Rotation and Angular Momentum Eigenvalues에서 Euler rotation의 body-fixed → space-fixed 변환, 고차원 각운동량의 고유값 구조, 의 기약 표현, 그리고 행렬을 다룬다.

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