QM lecture note - Euler Rotation and Angular Momentum Eigenvalues

강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

QM lecture note - Two-Component Spinor and Rotation Operator에서 Pauli matrix의 성질, rotation operator 의 명시적 유도, 의 의미, 그리고 SO(3)과 SU(2)의 관계를 논의했다.

오늘의 핵심

• Euler Rotation: 임의의 회전을 3개의 고정축 회전의 연속으로 표현. Body-fixed axis 회전 를 space-fixed axis 회전 로 변환
• irreducible representation 의 명시적 행렬
• 고차원 각운동량의 고유값 구조: 과 의 동시 고유켓 , ladder operator 의 도입
• 의 boundary 조건으로부터 양자수 와 의 결정: ,
• Ladder operator의 계수 의 normalization을 통한 결정
• 의 차원 기약 표현:
• Euler angle을 적용한 에서 행렬의 분리
• 에서의 행렬 표현과 의 명시적 계산

필기 내용

1. Euler Rotation

지금까지 회전을 나타낼 때 회전축 과 회전각 를 지정했다. 총 3개의 real parameter가 필요하다: .

Euler Rotation: 어떤 회전이든 3개의 internal axis에 대한 각 회전 과정의 연속된 결과로 나타낼 수 있다.

과정

1. 축에 대해 돌림:
2. 축(internal axis)에 대해 돌림:
3. 축에 대해 돌림:

Body-Fixed → Space-Fixed 변환

를 space axis에 대한 표현으로 바꾸고 싶다. 경험적으로:

이렇게 회전 순서를 바꾸어도 결과물이 같다는 것을 안다.

도 같은 논리로, 이므로:

Space-Fixed Axis 표현 유도

에 부터 치환해 넣어보자:

위에 그려진 그림 예시를 이용해 스스로 감을 익혀보자. 머릿속에서 이리저리 사과를 굴려..

와 의 위치 교환

Body-fixed 표현 와 비교하면 와 의 위치가 바뀐 것이 특징적이다.

2. Irreducible Representation

2차원 공간에서 이 회전을 행렬식으로 표현하면:

곱을 계산하면:

이 행렬을 irreducible representation of the rotation operator 라 부른다:

3. 고차원 각운동량의 고유값과 고유벡터

Total Angular Momentum

Total angular momentum이라는 개념을 도입한다.

은 모든 방향의 와 commute한다:

증명은 commutation의 성질 이라는 점과 이라는 점을 이용하면 된다.

동시 고유켓

과 의 simultaneous eigenket 를 정의한다:

아… 니면

나,

같은 걸 정의해도 되긴 한다. 만약 당신이 지적으로 고통받는 것을 좋아한다면.

Ladder Operators

Ladder operator를 도입한다:
QM lecture note - Simple Harmonic Oscillator 에서 정의한 ladder operator과과 비슷함을

이들의 교환 관계:

증명

증명

증명

for 이므로 자명하다.

의 작용

를 에 적용하면:

자체도 에 대한 eigenket이며, eigenvalue는 임을 알 수 있다.

에 적용하면:

자체도 에 대한 eigenket이며, eigenvalue는 임을 알 수 있다.

따라서 계수 에 대해:

의 정확한 형태는 나중에 normalization을 통해 찾을 것이다.

4. 의 Boundary와 양자수 , 의 결정

의 증명

우변의 은 의 norm 제곱과 의 norm 제곱의 합이므로 무조건 이다.

따라서:

와 의 결정

에는 boundary가 있으며, 로 결정된다.
가능한 의 값 중에서 최대 값을 가진 ket을 상정해 보자.

를 에 대해 나타낼 수 있다.

이를 아까 상정한 ket에 적용하면,

같은 전개로:

두 식을 비교하면:

확인

✓

가 가지의 값을 가질 수 있다면, 이므로:

양자수 를 정의할 수 있다

값 ()로 구별가능한 상태의 수, n을 이용하여 를 정의하자.

이 홀수면 는 half integer, 짝수면 는 integer. 총 개의 state가 존재.

는 총 각운동량을 나타내기도 한다.

양자수

를 이용해야 양자수 을 정의하자.

정리하면, 각운동량에 대한 eigenket을 이렇게 정의할 수 있다.

5. Matrix Elements와 Ladder Operator의 계수

과 의 행렬 원소

의 결정 (Raising operator)

아까 제대로 알아내지 못 했던 ladder operator를 사용했을 때 붙는 계수를 이제 구해 보자.

양 변에 를 적용하면,

을 두 가지 방법으로 계산할 수 있다.

따라서:

의 결정 (Lowering operator)

비슷한 방식으로:

전부 정리하면, ladder operator의 작용은

6. 의 행렬 표현

Total Angular Momentum을 바꾸지 않는 이유

은 total angular momentum을 바꾸지 않는다. 이는 이 과 commute해야 한다는 의미이다.
이 관계는 선운동에서 translation operator를 적용해도 momentum이 바뀌지 않는 것과 비슷하다.

과 은 에 대해 똑같은 eigenvalue 을 가진다.

차원 기약 표현

을 basis로 나타내면 matrix로 나타낼 수 있을 것이다.

Bra와 Ket의 값이 같음에 주목하라.

모든 에 대한 회전을 하나의 행렬로 나타낼 수 있다: block diagonal 형태로 , , , … 이 대각선에 배치된다.

왜 고작 이게 교과서 표지가 되었을까?

7. Euler Angle 적용과 행렬

Euler rotation을 적용하자:

은 의 eigenket이므로:

새로운 행렬 를 정의하자:

일 경우, 이미 알고 있는 행렬이다:

8. 에서의 행렬과

이어서 값이 3가지()인 경우.

를 ladder operator를 이용해 나타내자:

와 의 행렬 표현 ()

의 확인

편의를 위해 라 쓰자. 임을 확인한다:

Taylor 전개로 계산

를 반복 적용하면:

정리

이고, 임을 이용.

의 최종 결과

궁금한 내용

Body-fixed → Space-fixed 변환의 직관

에서, 오른쪽부터 읽으면 “만큼 되돌리고 → space 축으로 돌리고 → 다시 돌림”인데, 이것이 왜 body-fixed 축 회전과 같은지 직관적으로 이해할 수 있는가?

행렬의 일반적 공식

와 의 경우를 명시적으로 계산했는데, 임의의 에 대한 의 닫힌 공식(Wigner formula)은 어떤 형태인가?

AI의 보충 설명

연관 학습 노트

• QM lecture note - Two-Component Spinor and Rotation Operator
• QM lecture note - Rotation and Angular Momentum

References

• Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Chapter 3.3, 3.5

다음 강의

QM lecture note - Schwinger Oscillator Model and Wigner d-Matrix에서 임의의 에 대해 의 닫힌 공식(Wigner’s formula)을 유도한다. Schwinger Oscillator Model을 도입하여 두 독립 oscillator로 각운동량 대수를 구성하고, Baker-Hausdorff Lemma와 binomial expansion을 거쳐 최종 공식에 도달한다.

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