QM lecture note - Euler Rotation and Angular Momentum Eigenvalues

강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

QM lecture note - Two-Component Spinor and Rotation Operator에서 Pauli matrix의 성질, rotation operator 의 명시적 유도, 의 의미, 그리고 SO(3)과 SU(2)의 관계를 논의했다.

오늘의 핵심

• Euler Rotation: 임의의 회전을 3개의 고정축 회전의 연속으로 표현. Body-fixed axis 회전 를 space-fixed axis 회전 로 변환
• irreducible representation 의 명시적 행렬
• 고차원 각운동량의 고유값 구조: 과 의 동시 고유켓 , ladder operator 의 도입
• 의 boundary 조건으로부터 양자수 와 의 결정: ,
• Ladder operator의 계수 의 normalization을 통한 결정
• 의 차원 기약 표현:
• Euler angle을 적용한 에서 행렬의 분리
• 에서의 행렬 표현과 의 명시적 계산

필기 내용

1. Euler Rotation

지금까지 회전을 나타낼 때 회전축 과 회전각 를 지정했다. 총 3개의 real parameter가 필요하다: .

Euler Rotation: 어떤 회전이든 3개의 고정축에 대한 각 회전 과정의 연속된 결과로 나타낼 수 있다.

과정

1. 축에 대해 돌림:
2. 축(internal axis)에 대해 돌림:
3. 축에 대해 돌림:

Body-Fixed → Space-Fixed 변환

를 space axis에 대한 표현으로 바꾸고 싶다. 경험적으로:

임을 알 수 있으므로:

도 같은 논리로, 이므로:

Space-Fixed Axis 표현 유도

에 부터 치환해 넣어보자:

와 의 위치 교환

Body-fixed 표현 와 비교하면 와 의 위치가 바뀐 것이 특징적이다.

2. Irreducible Representation

2차원 공간에서 이 회전을 행렬식으로 표현하면:

부호 주의

여기서 이므로, 일 때 에 대해 가 (1,1) 성분이 되어야 한다. 필기에는 가 (1,1)에 적혀 있는데, 이는 convention의 차이일 수 있으므로 교재와 대조 필요.

곱을 계산하면:

이 행렬을 ** irreducible representation of the rotation operator **라 부른다:

3. 고차원 각운동량의 고유값과 고유벡터

Total Angular Momentum

Total angular momentum을 도입한다:

은 모든 방향의 와 commute한다:

동시 고유켓

과 의 simultaneous eigenket 를 정의한다:

Ladder Operators

Ladder operator를 도입한다:

이들의 교환 관계:

증명

증명

증명

for 이므로 자명하다.

의 작용

에 를 적용하면:

에 적용하면:

따라서 계수 에 대해:

의 정확한 형태는 나중에 normalization을 통해 찾을 것이다.

4. 의 Boundary와 양자수 , 의 결정

의 증명

우변은 각각 norm의 제곱이므로 이다. 따라서:

와 의 결정

에는 boundary가 있으며, 로 결정된다.

같은 전개로:

두 식을 비교하면:

확인

✓

가 가지의 값을 가질 수 있다면, 이므로:

양자수

이 홀수면 는 half integer, 짝수면 는 integer. 총 개의 state가 존재.

양자수

: -component angular momentum의 expectation value에 해당하는 양자수.

5. Matrix Elements와 Ladder Operator의 계수

과 의 행렬 원소

의 결정 (Raising operator)

을 두 가지 방법으로 계산한다:

따라서:

의 결정 (Lowering operator)

비슷한 방식으로:

전부 정리하면

6. 의 행렬 표현

Total Angular Momentum을 바꾸지 않는 이유

은 total angular momentum을 바꾸지 않는다. 이는 이 과 commute해야 한다는 의미이다. Translation을 해도 momentum이 바뀌지 않는 관계와 유사하다.

과 은 에 대해 똑같은 eigenvalue 을 가진다.

차원 기약 표현

이것은 행렬이다.

Bra와 Ket의 값이 같음에 주목하라.

모든 에 대한 회전을 하나의 행렬로 나타낼 수 있다: block diagonal 형태로 , , , … 이 대각선에 배치된다.

7. Euler Angle 적용과 행렬

Euler rotation을 적용하자:

은 의 고유켓이므로:

새로운 행렬 를 정의하자:

일 경우, 이미 알고 있는 행렬이다:

8. 에서의 행렬과

이어서 값이 3가지()인 경우.

를 ladder operator를 이용해 나타내자:

와 의 행렬 표현 ()

의 확인

편의를 위해 라 쓰자. 임을 확인한다:

Taylor 전개로 계산

를 반복 적용하면:

정리

이고, 임을 이용.

의 최종 결과

궁금한 내용

Body-fixed → Space-fixed 변환의 직관

에서, 오른쪽부터 읽으면 “만큼 되돌리고 → space 축으로 돌리고 → 다시 돌림”인데, 이것이 왜 body-fixed 축 회전과 같은지 직관적으로 이해할 수 있는가?

행렬의 일반적 공식

와 의 경우를 명시적으로 계산했는데, 임의의 에 대한 의 닫힌 공식(Wigner formula)은 어떤 형태인가?

AI의 보충 설명

연관 학습 노트

• QM lecture note - Two-Component Spinor and Rotation Operator
• QM lecture note - Rotation and Angular Momentum

References

• Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Chapter 3.3, 3.5

다음 강의

QM lecture note - Schwinger Oscillator Model and Wigner d-Matrix에서 임의의 에 대해 의 닫힌 공식(Wigner’s formula)을 유도한다. Schwinger Oscillator Model을 도입하여 두 독립 oscillator로 각운동량 대수를 구성하고, Baker-Hausdorff Lemma와 binomial expansion을 거쳐 최종 공식에 도달한다.

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