QM lecture note - Schwinger Oscillator Model and Wigner d-Matrix

강의 필기

이것은 Quantum Mechanics 강의를 듣고 적은 필기입니다.
정리가 안 되어 있고, 개인적인 생각과 풀이가 섞여 있을 수도 있습니다.

지난 강의

QM lecture note - Euler Rotation and Angular Momentum Eigenvalues에서 Euler rotation의 body-fixed/space-fixed 변환, irreducible representation, 각운동량 고유값의 구조(, 양자수의 결정), ladder operator의 계수 , 의 차원 기약 표현, 그리고 행렬의 정의와 경우의 명시적 계산을 다루었다.

오늘의 핵심

• 회전 행렬 의 오일러 각 표현과 의 정의 복습
• Schwinger Oscillator Model: 두 독립 harmonic oscillator의 ladder operator로 각운동량 대수를 구성
• , 와 , 의 관계: ,
• Baker-Hausdorff Lemma를 이용한 의 계산
• Binomial expansion을 거쳐 Wigner’s -matrix formula 의 닫힌 공식 유도

필기 내용

1. 과 의 정의 (복습)

회전 행렬의 정의:

오일러 각을 이용한 표현:

여기서 는 축 회전에 해당하는 부분이다:

문제 제기: 임의의 에 대해 를 구하는 일반적인 방법은 없을까?

→ Schwinger’s Oscillator Model을 소개한다!

2. Schwinger Oscillator Model

기본 설정

2개의 독립적인 harmonic oscillator를 고려하고, 각각의 ladder operator를 도입한다:

• Plus type oscillator: ,
• Minus type oscillator: ,

각각의 oscillator에 대해 number operator를 정의한다:

Commutation Relations

같은 type의 oscillator에 대해 (harmonic oscillator와 동일):

서로 다른 type의 oscillator를 위한 operator는 commute한다:

따라서 두 number operator도 commute한다:

Simultaneous Eigenket

두 operator에 대한 simultaneous eigenket을 고려할 수 있다:

Ladder operator는 각 type에 따로 작용한다:

바닥 상태에서 내리면 0이 된다:

, 이 임의의 와 에 성립하는가?

는 plus type에만 작용하므로 가 0이면 항상 소멸. 마찬가지로 는 가 0이면 항상 소멸한다. 따라서 성립한다.

Harmonic potential에서 부터 raising operator를 반복 적용해 모든 상태를 정의하는 기법을 이용:

, 의 물리적 해석

이 모델은 마치 -angular momentum의 최댓값(, quantum number)의 2배만큼 -spin 입자가 내재되어 있다고 가정한 것이다. 그중 up-spin의 수가 , down-spin의 수가 인 것이다. 다만, 이 가상의 spin 입자들은 서로 구별되지 않는다.

• up-spin 1개는 -angular momentum에 만큼 기여
• down-spin 1개는 -angular momentum에 만큼 기여
• Total momentum이 보존되면 (가 바뀌지 않으면) 전체 spin 수는 유지되어야 한다

3. Angular Momentum Operators의 Oscillator 표현

-방향 운동량을 올리고 내리는 를 정의한다. Ladder operator는 무차원이라, 를 곱해 준다.

의미: down spin을 하나 줄이고 up spin을 하나 늘림 (순서 무관)

의미: up spin을 하나 줄이고 down spin을 하나 늘림 (순서 무관)

가상의 up-spin이 -momentum에 기여하고, down-spin은 반대라고 한 것처럼,
는 number operator로 정의한다:

Commutation Relation 검증

직관적 예시

증명 (Oscillator operator로)

여기서 다른 type의 ladder operator는 commute함을 이용.

”가상의 spin 입자들” 비유의 한계

“가상의 spin 입자들” 비유에 따르면 와 의 결과가 같아야 할 것 같지만, 실제로는 그렇지 않다. ()

Total Number Operator와

전체 스핀 수를 나타내는 number operator를 정의한다:

원래대로 다른 방향의 angular momentum을 정의하면:

유도

Total angular momentum을 이렇게 정의한다:

이를 oscillator operator로 계산하면:

이것은 과 직결된다.

4. , 와 , 의 관계

, 를 에 작용한 결과를 , 로 나타내면:

세 연산 결과 모두 은 바뀌지 않는 것에 주목.

원래 알고 있던 결과와 비교하면:

이 결과와 비교하면, , 와 , 의 관계를 구할 수 있다:

이제 을 일반적으로 나타낼 수 있다:

5. General Rotation Matrix의 유도

이제 모든 에 대한 general rotation matrix를 찾을 수 있다. 와 는 냅두고 각만 돌려보자.

어떤 연산자 와 에 대해:

이 성질을 이용하면:

이때, 이다. 이는 vacuum state가 회전에 대해 불변이기 때문이다.

따라서:

6. Baker-Hausdorff Lemma를 이용한 전개

과 을 전개한다.

Baker-Hausdorff Lemma

Operator , 와 number 에 대해, nested commutator 표기법을 도입한다.
나는 이렇게 쓰겠다. 어떤 교재에서는 다른 방법으로 표기할 거 같다.

삼각함수 테일러 전개 정리

의 계산

자리에 를, 자리에 를 넣어 계산한다. Commutator를 몇 개 미리 계산한다:

결국,

2중 commutator:

패턴을 정리하면:

Baker-Hausdorff Lemma에 대입하면:

짝수 차수 항과 홀수 차수 항을 나누고

삼각함수 테일러 전개를 적용

의 계산

마찬가지로 계산하면:

패턴:

결과:

정리

관찰

이 행렬은 에 대한 회전 행렬이다.
어떤 자료도 이렇게 삼각함수 테일러 전개까지 자세히 풀어 주지 않을 정도로 상세한 과정이다. 수업시간에는 이렇게 안 해서 내가 보충한 내용이다…

7. Binomial Expansion과 유도

위 결과를 에 대입하면:

이때 binomial expansion을 이용한다. 이므로,
아래 식의 k가 식에 대한 인자, 위 표준식()의 k와 같은 역할.
아래 식의 이 에 대한 인자다.

한편, 의 표현은:

이 식하고

이 식이 같아야 한다.

와 의 지수가 같은 항을 비교한다:

• 1식에서 의 지수:
• 2식에서 의 지수:
• 1식에서 의 지수:
• 2식에서 의 지수:

양쪽 다 이라는 결론. 즉, , 과 가 결정되면 은 정해진다.
은 없어져도 되는(다른 양자수로 표현이 대체되어야 할) summation index다.

각 인자의 지수를 , , , 에 대해 나타내기

Wigner’s Formula

마침내, 에 대한 완전한 식, Wigner’s formula를 얻을 수 있다:

합에서 의 범위는 factorial의 인자가 0 이상인 값으로 제한된다.

궁금한 내용

인 이유

Vacuum state가 회전에 대해 불변이라는 것은 직관적으로 이해가 되지만, 엄밀하게 어떻게 보이는가? 이면 임은 자명한데, 이므로 성립.

Wigner -matrix의 검증

와 을 Wigner’s formula에 직접 대입하면 이전 강의에서 구한 와 가 재현되는가?

AI의 보충 설명

연관 학습 노트

• QM lecture note - Euler Rotation and Angular Momentum Eigenvalues
• QM lecture note - Rotation and Angular Momentum
• QM lecture note - Simple Harmonic Oscillator

다음 강의

QM lecture note - Orbital Angular Momentum and Spherical Harmonics에서 orbital angular momentum 의 position representation, spherical coordinate에서 , , 의 미분 연산자 표현, spherical harmonics 의 유도와 반정수 배제, 그리고 spherical harmonics와 rotation matrix의 관계를 다룬다.

References

• Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Chapter 3.8, 3.9

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